Справочник врача 21

Поиск по медицинской литературе


Абстракция




Ведь и понятия суть только чертежи, снимки, схемы реальности, и, изучая их, мы изучаем модели действительности, как по плану или географической карте мы изучаем чужую страну или чужой город. Что касается таких развитых наук, как физика и химия, то и сам Бинсвангер вынужден признать, что там образовалось обширное поле исследований между критическим и эмпирическим полюсами, что эту область называют теоретической, или общей физикой, химией и т. д. Так же, замечает он, поступает и естественнонаучная теоретическая психология, которая в принципе хочет быть равна с физикой. Как бы абстрактно ни формулировала теоретическая физика свой предмет изучения, например «учение о причинных зависимостях между явлениями природы», все же она изучает реальные факты; общая физика исследует самое понятие физического явления, физической причинной связи, но не отдельные законы и теории, на основе которых реальные явления могли бы быть объяснены как физически причинные; скорее, самое физическое объяснение есть предмет исследования общей физики (Л. Бинсвангер, 1922, с. 4—5). Как видим, сам Бинсвангер признает, что его концепция общей науки расходится с реальной концепцией, как она осуществлена в ряде наук, именно в одном пункте. Их разделяет не большая или меньшая степень абстрактности понятий, что может быть дальше от реальных, эмпирических вещей, чем причинная зависимость как предмет целой науки, их разделяет конечная направленность: общая физика, в конце концов, направлена на реальные факты, которые она хочет объяснить при помощи абстрактных понятий; общая наука в идее направлена не на реальные факты, но на самые понятия и с реальными фактами никакого дела не имеет. Правда, там, где возникает спор между теорией и историей, где есть расхождение между идеей и фактом, как в данном случае, там спор всегда решается в [28] пользу истории или факта. Самый аргумент от фактов в области принципиальных исследований иногда неуместен. Здесь с полным правом и смыслом можно ответить на упрек в несоответствии идеи и фактов: тем хуже для фактов. В данном случае — тем хуже для наук, если они находятся в той фазе развития, когда они не доросли еще просто до общей науки. Если общей науки в этом смысле еще нет, отсюда не следует, что ее и не будет, что ее не должно быть, что нельзя и не надо положить ей начало. Поэтому надо рассматривать проблему по существу, в ее логической основе, а тогда можно будет уяснить себе и смысл исторического отклонения общей науки от ее абстрактной идеи. По существу важно установить два тезиса. 1. Во всяком естественнонаучном понятии, как бы ни была высока степень его абстракции от эмпирического факта, всегда содержится сгусток, осадок конкретно-реальной действительности, из научного познания которой он возник, хотя бы и в очень слабом растворе, т. е. всякому, даже самому предельно отвлеченному, последнему понятию соответствует какая-то черта действительности, представленная в понятии в отвлеченном, изолированном виде; даже чисто фиктивные, не естественнонаучные, а математические понятия в конечном счете содержат в себе некоторый отзвук, отражение реальных отношений между вещами и реальных процессов, хотя они возникли не из опытного, реального знания, а чисто априорным, дедуктивным путем логических умозрительных операций. Даже такое отвлеченное понятие, как числовой ряд, даже такая явная фикция, как нуль, т. е. идея отсутствия всякой величины, как показал Энгельс, полны качественных, т. е. в конечном счете реальных, соответствующих в очень отдаленной и перегнанной форме действительным отношениям свойств. Реальность существует даже внутри мнимых абстракций математики. «16 есть не только суммирование 16 единиц, оно также квадрат от 4 и биквадрат от 2... Только четные числа делятся на два... Для деления на 3 мы имеем правило о сумме цифр... Для 7 особый закон» (К. Маркс, Ф. Энгельс. Соч., т. 20, с. 573). «Нуль уничтожает всякое другое число, на которое его умножают; если его сделать делителем или делимым по отношению к любому другому числу, то это число превращается в первом случае в бесконечно большое, а во втором случае — в бесконечно малое...» (там же, с. 576). Обо всех понятиях математики можно было бы сказать то, что Энгельс говорит о нуле со слов Гегеля: «Ничто от некоторого нечто есть некое определенное ничто» (там же, с. 577), т. е. в конечном счете реальное ничто. Но, может быть, эти качества, свойства, определенности понятий как таковых и никакого отношения к действительности не имеют? Ф. Энгельс ясно говорит как об ошибке о мнении, будто в математике имеют дело с чистыми свободными творениями и созданиями человеческого духа, для которых нет ничего соответственного в объективном мире. Справедливо как раз обратное. Мы встречаем для всех этих мнимых величин прообразы в природе. Молекула обладает по отношению к соответствующей массе совершенно теми же самыми свойствами, какими обладает математический дифференциал по отношению к своей переменной. «Природа оперирует этими дифференциалами, молекулами точно таким же образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими абстрактными дифференциалами» (там же, с. 583). В математике мы забываем все эти аналогии, и поэтому ее абстракции превращаются в нечто таинственное. Мы всегда можем найти «действительные отношения, из области которых заимствовано... математическое отношение... и даже наталкиваемся на имеющиеся в природе аналоги того математического приема, посредством которого это отношение проявляется в действии» (там же, с. 586). Прообразы математического бесконечного и других понятий лежат в действительном мире. «Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому [29] оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции» (там же). Если это верно по отношению к математической абстракции, т. е. к максимально возможной, то насколько это очевиднее в приложении к абстракциям реальных естественных наук; их уже, конечно, надо объяснять только из действительности, из которой они заимствованы, а не из самих себя, не из абстракции. 2. Второй тезис, который необходимо установить, чтобы дать принципиальный анализ проблемы общей науки, обратный первому. Если первый утверждал, что в самой высокой научной абстракции есть элемент действительности, то второй, как обратная теорема, гласит: во всяком непосредственном, самом эмпирическом, самом сыром, единичном естественнонаучном факте уже заложена первичная абстракция. Факт реальный и факт научный тем и отличаются друг... [стр. 14 ⇒]

Напротив, культурный прогресс основывается как раз на том, что все те научные методы или художественные средства выражения, которые с трудом были добыты предками в процессе медленного развития и частично благодаря выдающимся достижениям отдельных лиц, являются для последующих поколений рутинно-актуализируемыми компонентами творческого процесса. Поэтому в истории культуры гениальные личности появляются не как изолированные эрратические глыбы, а как указующие точки постоянных линий развития. II. Второй главный случай. Если для осуществления какоголибо целеполагания уже образовавшиеся методы решения недостаточны, то операция актуализации средств неприменима. В этом случае выполняются интеллектуальные операции, которые ведут к открытию новых методов решения. Эти операции заканчиваются тем, что отношение цели и средства между целеполаганием и известным методом решения внезапно входит в сознание, выделяется из ситуации, абстрагируется от нее. Поэтому эти операции будут обозначаться как операции абстракции средств. Как и при всех детерминированных операциях, при операциях абстракции средств направление процесса абстракции определяется соответствующей схематической антиципацией. Хотя ищущий средство и не имеет теперь соответствующей антиципации уже примененного метода решения, но он обладает в памяти комплексом известного процесса (П), который влечет за собой результат Рь Этот комплекс откликнется в памяти на схематическую антиципацию операции абстракции средства, и тождество этого процесса с искомым средством, осуществляющим результат Pi, внезапно проникнет в сознание. Мы обозначаем этот частный случай как репродуктивную абстракцию средств. Если в памяти отсутствует комплекс описанного рода или же если он не является актуализируемым, то операция репродуктивной абстракции средств не удастся. Однако впоследствии можно случайно наблюдать некоторый процесс П, который влечет за собой результат Рь тогда этот процесс подействует как процесс возбуждения для уже подготовленной операции абстракции средств. Антиципация средства, совпадающая с возникшим в данный момент результатом, станет снова актуальной, и тождество процесса П с искомым средством снова внезапно проникнет в сознание. Мы обозначаем этот частный случай как случайно обусловленную абстракцию средств. После того как Франклин задумал провести к земле из облаков грозовое электричество при помощи действия острия, он нуждался в подходящем соединении с грозовыми облаками. Антиципация подобного соединения могла путем репродуктивной абстракции средств пробудить воспоминание о подымающемся змее и повлечь за собой выполнение намерения при помощи змея, подымающегося на проволоке. Вероятно, использование змея и возникло этим путем. Но мыслимо также и то, что случайное 32... [стр. 18 ⇒]

Уильям Джемс, который напомнил, что «обобщенный характер как резкого образа, так и расплывчатого образа зависит от того, ощущается ли он в своей существенной функции. Эта функция — это загадочная прибавка, его понимаемый смысл». То же самое озадачило и Титченера, который считал, что в психологии говорить об абстрактной идее так же неправильно, как говорить об абстрактном ощущении. Это, говорил он, «смешение логики с психологией». Он не понимал, что конкретность и абстрактность не исключают друг друга и что конкретный образ может, сохраняя конкретность, испытываться как абстрактный, если он рассматривается как образ вида предметов, а не просто как образ одного индивидуального представителя. Сэмюэл Джонсон определил результат абстрагирования как «меньшую величину, обладающую достоинством или силой большей». Такое определение содержит намек на более богатую и точную оценку абстракции, чем у представителей традиционной логики. Абстракция — это не просто отбор образца из популяции и не образец ее основных черт. Например, определение или группа определений могут выделять один вид предметов из других, не являясь в то же время действительной абстракцией этого предмета. Точно так же простой знак или намек не является абстракцией. Клочок волос, подобранный сыщиком, не является абстракцией преступника. Однако запачканная кровью разноцветная одежда Иосифа — это больше, чем вещественное доказательство и свидетельство катастрофы. Для читающего Библию, так же как и для отца и братьев Иосифа, — это сильнейшая зрительная абстракция семейной драмы. Извлекать существенные черты из данного типа явлений бытия можно только при условии, если это явление организовано в такое целое, в котором какие-то характеристики занимают ключевые позиции, а другие — второстепенны, случайны. При этом нас интересует не выявление частных свойств, а описание структурных характеристик. Например, холодность человека — это не отдельное автономное свойство, как если бы мы говорили о холодной печке или холодной луне, а общее качество, влияющее на многие стороны поведения этого человека. Чтобы лучше уяснить себе эту характеристику абстракции, можно ввести различие между емкостным понятием и типом. Понятие емкость — это сумма свойств, по которым можно узнать данный вид сущности. Тип — это структурная основа такого вида сущности. Абстракции, характерные для творческого мышления как в науке, так и в искусстве, — это типы, а не емкости. Примером может служить исследование Эрнста Кречмера, посвященное типам человеческого тела. Кречмер отмечает, что его описание типов основано не на том, что наблюдается в большинстве случаев, а на примерах «самых блестящих» проявлений. Его «классические случаи» представляют 104... [стр. 54 ⇒]

Если материал, исходные данные проблемы неясны, их содержание нечетко, тогда на первых этапах неизбежно более или менее длительное время в мыслительном процессе будет преобладать анализ. Если, наоборот, к началу мыслительного процесса все данные выступают перед мыслью с достаточной отчетливостью, тогда мысль сразу пойдет по преимуществу по пути синтеза. В самом складе некоторых людей наблюдается преимущественная склонность — у одних к анализу, у других к синтезу. Бывают по преимуществу аналитические умы, главная сила которых в точности и четкости — в анализе, и другие, по преимуществу синтетические, особая сила которых — в широте синтеза. Однако и при этом речь идет лишь об относительном преобладании одной из этих сторон мыслительной деятельности; у подлинно больших умов, создающих что-либо действительно ценное в области научной мысли, обычно анализ и синтез все же более или менее уравновешивают друг друга. Анализ и синтез не исчерпывают собой всех сторон мышления. Существеннейшими его сторонами являются абстракция и обобщение. Абстракция— это выделение, вычленение и извлечение одной какой-нибудь стороны, свойства, момента явления или предмета, в каком-нибудь отношении существенного, и отвлечение от остальных. Абстракция, как и другие мыслительные операции, зарождается сначала в плане действия. Абстракция в действии, предшествующая мысленному отвлечению, естественно возникает в практике, поскольку действие неизбежно отвлекается от целого ряда свойств предметов, выделяя в них прежде всего те, которые имеют более или менее непосредственное отношение к потребностямчеловека, — способность вещей служить средством питания и т. п., вообще то, что существенно для практического действия. Примитивная чувственная абстракция отвлекается от одних чувственных свойств предмета или явления, выделяя другие чувственные же свойства или качества его. Так, рассматривая какие-нибудь предметы, я могу выделить их форму, отвлекшись от их цвета, или, наоборот, выделить их цвет, отвлекшись от их формы. В силу бесконечного многообразия действительности никакое восприятие не в состоянии охватить все ее стороны. Поэтому примитивная чувственная абстракция, выражающаяся в отвлечении одних чувственных сторон действительности от других, совершается в каждом процессе восприятия и неизбежно связана с ним. Такая — изолирующая — абстракция теснейшим образом связана с вниманием, и притом даже непроизвольным, поскольку при этом выделяется то содержание, на котором сосредоточивается внимание. Примитивная чувственная абстракция зарождается как результат избирательной функции внимания, теснейшим образом связанной с организацией действия. От этой примитивной чувственной абстракции надо отличать — не отрывая их друг от друга — высшую форму абстракции, которую имеют в виду, когда говорят об абстрактных понятиях. Начиная с отвлечения от одних чувственных свойств и выделения других чувственных же свойств, т. е. чувственной абстракции, абстракция затем переходит в отвлечение от чувственных свойств предмета и выделение его нечувственных свойств, выраженных в отвлеченных абстрактных понятиях. <…> Отношения между вещами обусловлены их объективными свойствами, которые в этих отношениях выявляются. Поэтому мысль может через посредство отношений между предметами выявить их абстрактные свойства. Абстракция в своих высших формах является результатом, стороной опосредования, раскрытия все более существенных свойств вещей и явлений через их связи и отношения. Это учение об абстракции, т. е. о том процессе, в котором мышление переходит к абстрактным понятиям, принципиально отличается от учений об абстракции эмпирической... [стр. 301 ⇒]

Такая — изолирующая — абстракция теснейшим образом связана с вниманием, и притом даже непроизвольным, поскольку оно выделяет то содержание, на котором оно сосредоточивается. Примитивная чувственная абстракция зарождается как результат избирательной функции внимания, теснейшим образом связанной с организацией действия. От этой примитивной чувственной абстракции надо отличать — не отрывая их друг от друга — высшую форму абстракции, которую имеют в виду, когда говорят об абстрактных понятиях. Начиная с отвлечения от одних чувственных свойств и выделения других чувственных же свойств, т. е. чувственной абстракции, абстракция затем переходит в отвлечение от чувственных свойств предмета и выделение его нечувственных свойств, выраженных в отвлечённых абстрактных понятиях. Абстрактные свойства предметов мы выявляем, исходя из их чувственных свойств, через посредство тех взаимоотношений, в которые эти предметы вступают. Отношения между вещами обусловлены их объективными свойствами, которые в этих отношениях выявляются. Поэтому мысль может через посредство отношений между предметами выявить их абстрактные свойства. Абстракция в своих высших формах является результатом, стороной опосредования, раскрытия всё более существенных свойств вещей и явлений через их связи и отношения. Это учение об абстракции, т. е. о том процессе, в котором мышление переходит к абстрактным понятиям, принципиально отличается от учений об абстракции эмпирической психологии, с одной стороны, идеалистической, рационалистической — с другой. Первая по существу сводила абстрактное к чувственному, вторая отрывала абстрактное от чувственного, утверждая, что абстрактное содержание либо порождается мыслью, либо усматривается ею как самодовлеющая абстрактная идея. В действительности абстрактное и несводимо к чувственному и неотрывно от него. Мысль может прийти к абстрактному, лишь исходя из чувственного. Абстракция и есть это движение мысли, которое переходит от чувственных свойств предметов к их абстрактным свойствам через посредство отношений, в которые эти предметы вступают и в которых их абстрактные свойства выявляются. Переходя к абстрактному, которое раскрывается через отношения конкретных вещей, мысль не отрывается от конкретного, а неизбежно снова к нему возвращается. При этом возврат к конкретному, от которого мысль оттолкнулась на своём пути к абстрактному, всегда связан с обогащением познаний. Отталкиваясь от конкретного и возвращаясь к нему через абстрактное, познание мысленно реконструирует конкретное во всё большей полноте его содержания как сращение (дословное значение слова «конкретный» — от concresco) многообразных абстрактных определений. Всякий процесс познания происходит в этом двойном движении мысли. Другой существенной стороной мыслительной деятельности являются обобщения. Обобщение, или генерализация, неизбежно зарождается в плане действия, поскольку индивид одним и тем же генерализованным действием отвечает на различные раздражения и производит их в разных ситуациях на основании общности лишь некоторых их свойств. В различных ситуациях одно и то же действие вынуждено часто осуществляться посредством разных движений, сохраняя при этом, однако, одну и ту же схему. Такая — генерализованная — схема является собственно понятием в действии или двигательным, моторным «понятием», а его применение к одной и неприменение к другой ситуации — как Рубинштейн, С. Л. = Основы общей психологии – Издательство: Питер, 2002 г., 720 стр. [стр. 401 ⇒]

Поэтому в истории культуры гениальные личности появляются не как изолированные эрратические глыбы, а как указующие точки постоянных линий развития. II. Второй главный случай. Если для осуществления какого-либо целеполагания уже образовавшиеся методы решения недостаточны, то операция актуализации средств неприменима. В этом случае выполняются интеллектуальные операции, которые ведут к открытию новых методов решения. Эти операции заканчиваются тем, что отношение цели и средства между целеполаганием и известным методом решения внезапно входит в сознание, выделяется из ситуации, абстрагируется от нее. Поэтому эти операции будут обозначаться как операции абстракции средств. Как и при всех детерминированных операциях, при операциях абстракции средств направление процесса абстракции определяется соответствующей схематической антиципацией. Хотя ищущий средство и не имеет теперь соответствующей антиципации уже примененного метода решения, но он обладает в памяти комплексом известного процесса (П), который влечет за собой результат P1. Этот комплекс откликнется в памяти на схематическую антиципацию операции абстракции средства, и тождество этого процесса с искомым средством, осуществляющим результат P1, внезапно проникнет в сознание. Мы обозначаем этот частный случай как репродуктивную абстракцию средств. Если в памяти отсутствует комплекс описанного рода или же если он не является актуализируемым, то операция репродуктивной абстракции средств не удастся. Однако впоследствии можно случайно наблюдать некоторый процесс П, который влечет за собой результат P1, тогда этот процесс подействует как процесс ад возбуждения для уже подготовленной операции, абстракции средств. Антиципация средства, совпадающая с возникшим в данный момент результатом, станет снова актуальной, и тождество процесса П с искомым средством снова внезапно проникнет в сознание. Мы обозначаем этот частный случай как случайно обусловленную абстракцию средств. После того как Франклин задумал провести к земле из облаков грозовое электричество при помощи действия острия, он нуждался в подходящем соединении с грозовыми облаками. Антиципация подобного соединения могла путем репродуктивной абстракции средств пробудить воспоминание о подымающемся змее и повлечь за собой выполнение намерения при помощи змея, подымающегося на проволоке. Вероятно, использование змея и возникло этим путем. Но мыслимо также и то, что случайное зрелище подымающегося змея впервые, подало мысль о применении змея путем случайной абстракции средств. Этот пример типичен, так как эта вторая возможность возникновения связи цели и средства всегда имеется там, где наблюдение явлений природы влечет за собой открытие методов решения в области науки и техники, а наблюдение эстетических воздействий - открытие художественных средств выражения. Так, открытие Фарадеем индукционных токов основывалось на ясном примере случайно обусловленной абстракции средств. Фарадей долгое время напрасно пытался вызвать токи при помощи магнита. Наконец случай пришел к нему на помощь. Он сделал наблюдение, что в момент вдвигания и вынимания магнитного сердечника катушки гальванометр, соединенный с катушкой, дает моментальный отброс. Благодаря предварительной подготовке абстракции средства в силу предшествующей постановки проблемы это само по себе мало замечательное явление оказалось для исследователя достаточным, чтобы установить, что в замкнутом, но не подверженном действию тока проводнике благодаря движению магнита должен возникнуть ток. Этим был открыт принцип индукционных токов. Также и объяснение Дарвином происхождения видов борьбой за существование возникло путем случайной абстракции средств. Возвратясь из своих зоологических исследовательских путешествий, он при случайном чтении привлекавшего тогда внимание народнохозяйственного труда Мальтуса, о... [стр. 21 ⇒]

На начальных стадиях ознакомления с окружающим миром вещи познаются прежде всего путем сравнения. Сравнение - это та конкретная форма взаимосвязи синтеза и анализа, посредством которой осуществляются эмпирическое обобщение и классификация явлений. Роль сравнения особенно велика на уровне эмпирического познания, на начальных его ступенях, в частности у ребенка. На уровне теоретического познания анализ и синтез выступают в новых формах. Анализ, вычленяя существенные свойства явлений из несущественных, необходимые из случайных, общие из частных, переходит в абстракцию. Синтез выступает в переходе от абстракции к мысленному восстановлению конкретного как проанализированного целого в соотношении его многообразных определений. Он осуществляется путем: 1) соотнесения при объяснении конкретных явлений нескольких закономерностей, полученных в результате аналитического расчленения перекрещивающихся зависимостей; 2) введения каждой из этих закономерностей в новые конкретные обстоятельства, в которых исходные категории получают, новую форму проявления и т. д. В теоретическом познании синтез выступает в виде «построения» новых, все более сложных объектов (геометрических фигур, чисел и т. д.), т. е. введения их в поле рассмотрения на основе закономерных соотношений их с исходным объектом (в геометрическом рассуждении — с линиями, углами и т. п.) и включения таким образом этих последних во все новые связи. Синтез непрерывно переходит в анализ и наоборот. Строго говоря, вообще нет двух путей или двух отрезков пути познания, из которых один представлял бы собой анализ, а другой - синтез. Анализ и синтез - две стороны единого процесса. Каждое звено познания, каждая категория мышления есть абстрактный продукт анализа конкретной действительности и, вместе с тем звено синтетического процесса - мысленного восстановления конкретного в его уже проанализированной закономерности. На двух крайних полюсах познавательной деятельности абстракция выступает в двух отчетливо различных формах. Элементарная форма абстракции остается в пределах чувственного, не приводит к обнаружению никаких новых, чувственно не данных свойств предметов. Отличительная особенность абстракции, характеризующей отвлеченное мышление, заключается в том, что, отправляясь от чувственного, она выходит за пределы чувственного вообще. Отвлекаясь от сторонних, привходящих обстоятельств, которые маскируют существенное в явлении, абстракция выявляет явление в «чистом», «идеализированном» виде. Такая абстракция - не просто отбор тех или иных из непосредственно данных свойств явления, но и их преобразование. Общее с первым видим абстракции заключается в том, что абстракция эта и здесь не просто отвлечение от какихлибо одних свойств и сохранение любых других. Всякая серьезная научная абстракция - это отвлечение существенных свойств от несущественных. Абстракция, характеризующая отвлеченное научное мышление, - это не акт субъективного произвола. Научная абстракция объективно обусловлена. Научная абстракция - это отвлечение от несущественного, маскирующего собственную природу или «сущность» изучаемого явления и выявление этой последней. Вместе с тем научная абстракция - это ступенька к мысленному восстановлению конкретного. В этих положениях заключена основа теории абстракции, отправная точка для решения связанных с ней проблем. На этой основе можно внести ясность и в теорию обобщения. Обобщение, как и абстракция, на двух крайних полюсах процесса познания выступает в отчетливо различимых формах: в виде генерализации и собственно обобщения - понятийного, необходимо связанного со словом как условием и формой своего существования. Элементарные формы обобщения совершаются независимо от теоретического анализа. Элементарное обобщение первоначально совершается по сильным признакам. Сильные свойства непосредственно, жизненно, практически существенны. Они непосредственно, чувственно выступают на передний план в восприятии и регулируют направление чувственного, эмпирического обобщения. [стр. 52 ⇒]

Тот факт, что на языке племени тамо существует два разных слова для обозначения «идти на восток» и «идти на запад», указывает, конечно, на то, что эти слова подразумевают общее, а не конкретное. В самом деле, ведь «идти на восток» можно совершенно различным образом! Одно дело идти на восток сегодня, а другое — завтра, ведь при этом образ не может быть полностью идентичным; кроме этого, на восток могут идти разные люди, из разных мест, в различном состоянии. Несмотря на это — слово одно. Оно подразумевает все случаи «идти на восток», движение в этом направлении вообще. Стало быть, бесспорно, что образному мышлению свойственно некоторое обобщение. Но как это происходит? В общем, о движении в сторону востока можно говорить, лишь подразумевая все признаки, встречающиеся во всех возможных вариантах подобной активности. Следовательно, нужно выделить эти общие признаки и руководствоваться только ими. Это же требует акта так называемой «абстракции», то есть выделения отдельных частей и признаков целого и рассмотрения каждого из них в отдельности. Получается, что и образное мышление подразумевает абстракцию. Но тогда какой смысл называть его конкретным, неабстрактным мышлением в отличие от понятийного мышления! Дело в том, что «абстракция» образного мышления — абстракция иного рода. Она представляет собой специфический способ, который, хотя и служит той же цели, что и развитая абстракция, но все же не может считаться настоящей абстракцией; это — не настоящая абстракция, а лишь ее функциональный эквивалент. Что представляет собой этот эквивалент? Это особенно ясно видно из примеров все той же примитивной речи. Посмотрим, какие слова употребляются в примитивном языке для обозначения свойств, признаков предмета — например, как называется тот или иной цвет, скажем «черный» или «красный». В данном случае это интересно потому, что для внесения отдельного слова для обозначения отдельного признака нужно выделить этот признак из представления предмета в целом, а употребляя соответствующее слово, подразумевать, иметь в виду только это выделенное содержание; иначе говоря, необходимо обратиться к абстракции. Итак, как же обозначается на примитивном языке качество, признак, то есть отвлеченное содержание? Жители Новой Померании, например, «черное» называют «коткот» (ворона), а «красное» — «габ» (кровь), то есть для обозначения тех или иных признаков используют названия тех предметов, у которых они наиболее ярко выражены. Что доказывает отмеченное обстоятельство? Очевидно, что в сознании дикаря при употреблении слова, обозначающего некое качество (например, черный), появляется не понятие «черного» как отдельного признака, а обязательно представление целого предмета — в нашем примере вороны. Но ведь у вороны есть и другие признаки! Но эти признаки обозначаются уже названиями других предметов. Очевидно, что на дикаря ворона оказывает впечатление прежде всего своим густым черным цветом; поэтому понятно, что, желая отметить аналогичное впечатление, он вспоминает ворону. Следовательно, в примитивном языке название абстрактного содержания, например признака, подразумевает не отдельный признак, выделенный из целостного представления, а целостность, для которой данный признак характерен. Именно поэтому черное называется «вороной», а красное — «кровью». То, что это действительно должно быть именно так, то есть то, что дикарь вместо выделения из целого отдельной стороны, то есть абстракции, использует... [стр. 313 ⇒]

В этом проявляются функции анализа. Однако одновременно с этим вы пытаетесь сложить в единое целое смысл услышанных вами слов и составить осмысленную фразу. В данном случае вы используете другую мыслительную операцию — синтез. Конечно, не всегда операции синтеза и анализа протекают в соответствии с этим примером. Но бесспорно то, что они всегда присутствуют при решении относительно сложной умственной задачи. Абстракция и конкретизация. Абстракция — это мысленное отвлечение от каких-либо частей или свойств предмета для выделения его существенных признаков. Суть абстракции как мыслительной операции состоит в том, что, воспринимая какой-либо предмет и выделяя в нем определенную часть, мы должны рассматривать выделенную часть или свойство независимо от других частей и свойств Глава 12. Мышление • 319 данного предмета. Таким образом, с помощью абстракции мы можем выделить часть предмета или его свойства из всего потока воспринимаемой нами информации, т. е. отвлечься, или абстрагироваться, от других признаков получаемой нами информации. Абстракция широко используется нами при образовании и усвоении новых понятий, так как в понятиях отражены только существенные, общие для целого класса предметов признаки. Например, сказав «стол», мы представляем некий образ целого класса предметов. В этом понятии объединяются наши представления о разных столах. Для того чтобы сформировать данное понятие, нам пришлось отвлечься от целого ряда частных свойств и признаков, характерных только для определенного объекта или отдельной группы объектов, которые определяются сформированным нами понятием. Сформированные нами конкретные понятия в дальнейшем используются при образовании и усвоении так называемых абстрактных понятий, которые существенно отличаются от конкретных понятий. Так, в приведенном выше примере понятие «стол» относится к конкретным понятиям, поскольку оно обозначает предмет или группу предметов в целом. В отличие от конкретных понятий абстрактными понятиями называются понятия об обобщенных признаках и свойствах предметов и явлений. К абстрактным понятиям относятся, например, такие, как «твердость», «яркость», «горечь», «мудрость» и т. п. При образовании подобных понятий особенно важно отвлечься от других свойств, поэтому образование абстрактных понятий представляет собой более трудный процесс, чем усвоение конкретных понятий. В то же время абстракция не существует без чувственной опоры, иначе она становится бессодержательной, формальной. Среди видов абстракции можно выделить практическую, непосредственно включенную в процесс деятельности; чувственную, или внешнюю; высшую, или опосредованную, выраженную в понятиях. Следует отметить, что при осуществлении операций абстракции мы можем столкнуться с ошибками двоякого рода. В одних случаях, усваивая определенные понятия (теоремы, правила и т. д.), мы не можем отвлечься от конкретных примеров или информационного фона, с использованием которого производится (формирование данного понятия, в результате чего мы не можем использовать сформированное понятие в других условиях. При изучении правил уличного движения с использованием иллюстрированных учебников, содержащих примеры на определенное правило, человек не сразу начинает применять сформированные в процессе обучения понятия на практике, оказавшись за рулем автомобиля в несколько другой, не рассмотренной в учебнике обстановке. Ошибкой другого рода при осуществлении операций абстракции является отвлечение от существенных признаков предмета или явления. В результате мы пытаемся обобщить то, что нельзя обобщать, и у нас формируется искаженное или ложное представление. Конкретизация является процессом, противоположным абстракции. Конкретизация — это... [стр. 282 ⇒]

В домарксистской философии процесс образования понятий, абстракций р а с с м а т р и в а л с я п р е и м у щ е с т в е н н о в онтогенетическом плане. Заслугой марксистско-ленинской философии я в л я е т с я в ы д в и ж е н и е на п е р в ы й п л а н исследования проблем исторических, с в я з а н н ы х с формированием и развитием нашего з н а н и я в ходе р а з в и т и я н а у к и общественной п р а к т и к и . У к а з а н н ы е аспекты и з у ч е н и я процесса абстракции существенным образом о т л и ч а ю т с я друг от друга. В самом деле, выяснение путей и способов, с помощью которых человек овладевает такими а б с т р а к ц и я м и к а к масса, число, подобие и др., когда они ужо известны в н а у к е и входят и программу обучения у ч а щ и х с я в средней школе — одна задача; выяснение путей и способов, которыми они возник а л и в ходе р а з в и т и я н а у к и и общественной п р а к т и к и человека — задача качественно и н а я . Однако, неемотпш на все р а з л и ч и е задач этих двух аспектов исследования у к а з а н н о й проблемы, они могут быть р а з р а б о т а н ы л и ш ь с позиций марксистско-ленинской философии. Более того, сам этот а н а л и з теории абстракции в обоих п л а н а х входит составной частью в марксистскую теорию п о з н а н и я . В нас т о я щ е й работе мы преимущественно будем рассматривать проблемы абстракции во втором, т. е. историческом, филогенетическом п л а н е . Ч е л о в е к абстрагирует те или иные свойства предметов на к а ж д о м шагу. В л а д е я з а р а н е е т а к и м и а б с т р а к ц и я м и к а к «цвет», «форма», «объем» и т. п., человек отвлекает «цвет», «форму», «объем» предметов, с которыми сталкивается в своей повседневной п р а к т и к е , рассуждает, например, о цвете материи, форме с к у л ь п т у р ы , объеме сосуда. Однако в этом случае, человек не образует новых абстракций, поскольку он у ж е ими владеет. В процессе р а с с у ж д е н и я о цвете, форме и объеме предметов он может л и ш ь уточнить, к о н к р е т и з и р о в а т ь , углубить свои абстракции. Ч е л о в е к постоянно образует н о в ы е Понятия к а к в плане онтогенеза, т а к и в п л а н е филогенеза. В первом случае вновь образованное путем абстракции понятие я в л я е т с я новым л и ш ь д л я человека, его образовавшего. Во итором случае вновь образованное путем абстракции понятие я в л я е т с я новым для н а у к и , для человечества в цолом. 23... [стр. 24 ⇒]

К а к мы у ж е у к а з а л и р а н ь ш е , процесс абстракции предс т а в л я е т собой в широком смысле процесс мысленного отвлечения от чего-либо. Его разнообразные в а р и а н т ы предс т а в л я ю т собой р а з л и ч н ы е виды процесса абстракции. Эти виды р а з л и ч а ю т с я характером в ы д е л я е м ы х свойств и свойств, от которых м ы при этом отвлекаемся, а т а к ж е тем. к а к у ю форму приобретает мысль в р е з у л ь т а т е абстрагиров а н и я и в зависимости от других оснований. Мы не приводим к л а с с и ф и к а ц и ю всех видов абстракции, а перечисляем л и ш ь те, которые использованы в н а с т о я щ е й работе, не претендуя на соблюдение всех принципов научной классификации. 1) А б с т р а к ц п е й о т о ж д е с т в л е я п я называется процесс отвлечения от несходных, р а з л и ч а ю щ и х с я свойств предметов и одновременного выделения одинаковых, тождественных их свойств. В р е з у л ь т а т е такого отвлечения создается возможность образовывать п о н я т и я . Посредством общего свойства, мыслимого в п о н я т и и , м о ж н о (во всяком случае для р я д а пон я т и й , объем которых не м е н я е т с я в процессе данного расс у ж д е п и я ) выделить о б ъ е м н о н я т и я — множество, которое мыслится к а к особый «абстрактный предмет», обл а д а ю щ и й особыми свойствами по сравнению с индивидуу м а м и , с о с т а в л я ю щ и м и множество (см. гл. Т п. 4, гл. II п. 2, гл. V п. 2 ) . В этом с л у ч а е к а ж д ы й элемент множества может быть представителем всех других его элементов, поскольку они рассматриваются л и ш ь с точки зрения общ и х для них свойств. В процессе абстракции отождествления .можно выдел я т ь чувственно воспринимаемые свойства — абстракция, основанная на «непосредственном» отождествлении предметов — и чувственно исвоспришгмаемыо свойства —абс т р а к ц и я , п о л у ч е н н а я через отношения типа равенства. На основе абстракции отождествления могут выделяться и отношения м е ж д у предметами. В истории логики этот вид процесса абстракции часто н а з ы в а л и обобщающей абстракцией. 2. Абстракцией и з о л и р у ю щ е й пли а н а л и т л ч е с к о й н а з ы в а е т с я процесс о т в л е ч е н и я свойства или отношения от предметов и их иных свойств, с которыми они в. действительности неразрывно с в я з а н ы . 1... [стр. 25 ⇒]

П р и этом он все ж е считает необходимым отметить, что к м н и м ы м числам люди п р и ш л и другим п у т е м : они получили их не п у т е м отвлечения, о п е р и р у я непосредственно с в е щ а м и внешнего мира, а у ж е к а к продукты «...свободного творчества и воображения самого разума» . П р и таком способе введения абстракций в пауку, т. е. при введении новых и м е н д л я предметов через их дескрипции, всегда имеется опасность, что т а к а я а б с т р а к ц и я окаж е т с я неправомерной или д а ж е бессмысленной. Поэтому введение в н а у к у т е х или и н ы х а б с т р а к ц и й п р и х о д и т с я оправдывать. Юбщим методом о п р а в д а н и я введения тех пли и н ы х абстракций я в л я е т с я , к а к у ж е у к а з ы в а л о с ь в предыдущем п а р а г р а ф е , приложимость теорий к р е ш е н и ю практических задач. Однако в некоторых теориях пользуются д л я этой цели и и н ы м и с п е ц и а л ь н ы м и методами. Об одном из них м ы у ж е у п о м и н а л и в с в я з и с м н и м ы м ч и с лом: а б с т р а к ц и я считается научной, правомерной, если она получает и н т е р п р е т а ц и ю в р а м к а х какой-либо содерж а т е л ь н о й теории. Другой метод введения абстракции у к а з а н н ы м путем был разработан Д. Гильбертом. Основное с о д е р ж а н и е его так называемой е-теоремы состоит в следующем: если при доказательстве какой-либо математической теоремы мы пользуемся «некоторым» абстр а к т н ы м предметом, введенным с помощью е-оператора, и если в формулировке этой теоремы такого «абстрактного предмета» нет, то этому доказательству м о ж н о сопоставить иное доказательство этой теоремы, где м ы не прибегаем к такого рода абстракции. Поэтому т а к и м «абстрактным предметом» и можно пользоваться при доказательстве. В исчислениях ^-конверсии А. Ч е р ч а т а к ж е существуют методы э л и м и н а ц и и ф у н к ц и о н а л ь н о й абстракции (абстракции « ф у н к ц и я » ) . О п е р а ц и я ф у н к ц и о н а л ь н о й абстр а к ц и и я в л я е т с я исходной при построении исчислений А.-конверсии. С помощью ее строятся множества, ф у н к ц и и и т. п., в в ф я т с я иные операции. С помощью другой операц и и ( « п р и л о ж е н и я » ) строятся выра?кения, в которых у ж е абстракцииабстрактного предмета») «функция» не встречается. Когда абстракции можно исключить при всех обстоятельствах, сводя их к совокупностям и н д и в и д у а л ь н ы х 5 9... [стр. 92 ⇒]

Другой метод оправдания математических абстракций был р а з р а б о т а н Д. Гильбертом. Гильберт п ы т а л с я показать, что классическая м а т е м а т и к а с ее абс т р а к ц и я м и ( н а п р и м е р абстракцией актуальной бесконечности) вполне правомерна, так к а к ее можно построить чисто ф и н и т н ы м способом, где т а к и е абстракции не используются. Основное содержание е-теоремы Гильберта состоит в с л е д у ю щ е м : если мы при доказательстве к а к о й либо теоремы пользуемся абстракциями, введенными с помощью е-оиератора, и если в самой этой теореме т а к и х а б с т р а к ц и й нет, то этому доказательству теоремы м о ж н о сопоставить иное доказательство, в котором у к а з а н н ы м и а б с т р а к ц и я м и не пользуются, откуда и следует, что т а к и ми а б с т р а к ц и я м и м о ж н о пользоваться: чего-либо н е в е р ного м ы таким образом не получим. А. Ч е р ч в своих исчислениях ^.-конверсии т а к ж е показывает, что можно пользоваться абстракцией « ф у н к ц и я » , к а к особым «абстрактным предметом», поскольку эта а б с т р а к ц и я с помощью особого оператора может быть элиминирована и заменена з н а ч е н и я м и этой ф у н к ц и и для неопределенного з н а ч е н и я ее аргумента. Н е о п о з и т и в и з м видит оправдание абстракций л и ш ь в непосредственном и полном их сведении к д а н н ы м ч у в ственного опыта. Этот к р и т е р и й о п р а в д а н и я абстракций я в л я е т с я ч р е з в ы ч а й н о у з к и м . Не д л я всех научных, правомерных абстракций он может быть применен. Один из основных выводов данной работы состоит в том, что введение а б с т р а к ц и й я в л я е т с я п р а в о м е р н ы м тогда, когда оно сопровождается у к а з а н и е м правил, позвол я ю щ и х исключать эти абстракции, поскольку всякое п р и менение теории на п р а к т и к е предполагает исключение последних. Т а к п р и м е н е н и е математической теории, оперир у ю щ е й а б с т р а к ц и я м и , н а п р и м е р , в технике предполагает составление ч е р т е ж е й , схем и т. п. П р и этом абстракции точки п р я м о й и т. п. получают сначала м а т е р и а л ь н о е истолкование, а затем и м а т е р и а л ь ное воплощение. Такого рода абстракции верно о т р а ж а ю т м а т е р и а л ь н у ю действительность. Если ж е введение абстракц и и не сопровождается п р а в и л а м и их и с к л ю ч е н и я (пусть д а ж е только при о п р е д е л е н н ы х у с л о в и я х ) , то это означает, что т е о р и я не п р и м е н и м а на п р а к т и к е , что введенные в теорию а б с т р а к ц и и — н е п р а в о м е р н ы . 340... [стр. 341 ⇒]

Т а к а я а б с т р а к ц и я элиминируется с помощью операции «приложения» ф у н к ц и и к конкретным о б ъ е к т а м (или их и м е н а м ) . Т а к , абстракции « + » не соответствует какое-либо число, но «приложению» операции « + » к числам 3, 5 соответствует число 8. Поднимаясь на более высокую ступень абстракции, мы м о ж е м выделить самую абстракцию «операция», прим е н я е м у ю к паре любых объектов ( ч и с е л ) : aQ)b, где я и b м ы с л я т с я к а к с в я я а н п ы е переменные, а з н а к О — з н а к свободной переменной, которая м о ж е т п р и н и м а т ь з н а ч е н и я из области допустимых двуместных операций над любыми н а т у р а л ь н ы м и числами. Введение т а к и х абстракций вполне правомерно, поскольку в соответствии с определенными п р а в и л а м и мы м о ж е м их элиминировать, используя, н а п р и м е р , операцию «приложение». Т а к , п р и л а г а я абстракцию О к свободным переменным a, b (мы п р и м е н и л и к ним у ж е операцию «прилож е н и я » ) и, п о д с т а в л я я затем вместо п е р е м е и н о й О в выражение а О Ь имена тех или и н ы х операций ( н а п р и м е р , сложения) над н а т у р а л ь н ы м и числами, мы будем получать в ы р а ж е н и я , где у ж е абстракции «операция» не будет (точнее, мы понизили уровень этой а б с т р а к ц и и ) . Произведя затем в полученном таким образом в ы р а ж е н и и подстановку р а з л и ч н ы х н а т у р а л ь н ы х чисел, мы будем п о л у ч а т ь в ы р а ж е н и я , где у ж е будет п операции с л о ж е н и я в ее абстрагированном виде. Получив, н а п р и м е р , в ы р а ж е н и е ? + 5 путем подстановки чисел 7 + 5 в ф о р м у л у а + Ь, м ы освободимся от абстракции «сложение». Это п р о я в л я е т с я в том, что в ы р а ж е н и е 7 + 5 м о ж е т быть заменено э к в и в а л е н т н ы м ему в ы р а ж е н и е м 12, где у ж е з н а к а слоя^ения вовсе нет. В ы р а ж е н и е ж е а + Ь, с о д е р ж а щ е е операцию с л о ж е н и я в абстрагированном виде, «свернуть» аналогичным образом нельзя. Это означает, что а б с т р а к ц и я м и в н а у ч н ы х теориях всегда можно пользоваться, коль скоро правила их введения и исключения оправданы практикой, практическими прил о ж е н и я м и р а с с м а т р и в а е м о й теории. Т а к и е абстракции действительно о т р а ж а ю т с у щ е ственные стороны предметов и я в л е н и й о к р у ж а ю щ е г о нас мира, к которым м ы применяем н а ш и н а у ч н ы е теории. 343... [стр. 344 ⇒]

Ключевые слова: абстракция; капитализм; коллективный интеллект; тенденция к понижению нормы прибыли. В статье центральный тезис акселерационизма рассматривается через призму вопроса об абстракции. Автор обращается к абстракции как универсальной форме, прослеживая ее на различных уровнях организации мира. Она выступает и целью капитала, и методом марксизма. В качестве фундаментальной силы абстракция — источник конкретного. На уровне капитализма действуют два главных вектора абстракции — монетарный (финансиализация) и технологический (алгоритмы общества метаданных). Одновременно абстракция информатизируется через кибернетическую прививку капитала и ревалоризацию информации. Далее автор обращается к рассмотрению связи человека и капитала. Абстракция вооружается биополитической эпистемологией, порождающей нормативную власть. Углубляясь в область человеческого, автор выявляет абстракцию в познании как органическую и логическую собирающую способность сознания, предшеству... [стр. 1 ⇒]

Введение. Философия и наука ………………………………… Глава 1. Интервал абстракции как проблема методологии ………… 1.1. Интервал абстракции 1.2. Интервальная ситуация 1.3. Интервальная ситуация и проблема истины Глава 2. Абстракция и научный метод …………………………….…. 2.1. Странички истории 2.2. О значениях слова «абстракция» 2.3. Абстрактный объект 2.4. Абстракцция в лабиринтах познания 2.5. Осмысление абстракций 2.5. Исключение абстракций 2.6. Абстракция и научный метод Глава 3. Абстракция постоянства ………………………………….…. 3.1. Абстракция постоянства и повседневный опыт 3.2. Абстракция постоянства и научный опыт 3.3. Абстракция постоянства и закон тождества Глава 4. Абстракция индивидуации ………………………………….. 4.1. Многое и одно 4.2. Проблема индивидуации 4.3. Немного истории 4.4. Индивидуация как абстракция 4.5. Индивидуация и универсум 4.6. Индивидуация и множество 4.7. Индивидуация и логика 4.8. Индивидуация и квантовая неопределѐнность 4.9. Индивидуация и пападокс Ришара 4.10. Индивидуация и информация Глава 5. Абстракция отождествления …………………………………. 5.1. Различение 5.2. Отождествление 5.3. Абстракция отождествления 5.4. Обобщающая абстракция и тождество 5.5. Абстракция отождествления и факторизация 5.6. Принцип абстракции Глава 6. Дедуктивное обобщение и принцип абстракции …………… 6.1. Аподейктика в античности 6.2. О понятии «обобщение» 6.3. Платон 6.4. Аристотель 6.5. Томас Гоббс 6.6. Джон Локк 6.7. Готфрид Лейбниц 6.8. Джордж Беркли 6.9. Давид Юм 6.10. -обобщение и принцип абстракции... [стр. 2 ⇒]

М.М. Новосѐлов АБСТРАКЦИЯ В ЛАБИРИНТАХ ПОЗНАНИЯ Часть 1 (МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ) Москва 2000 ПРЕДИСЛОВИЕ Актуальность темы ―абстракция‖ определяется еѐ историей. Более двух тысячелетий эта тема не сходит с повестки для любой теории познания, а еѐ обсуждение и подходы к еѐ решению определяют лицо самой теории познания. Для философии тема абстракции – это тот нелѐгкий путь, на котором она сознательно отказывается от автономного существования, погружаясь в область гносеологических проблем ―положительной науки‖. При этом характер философского анализа проблем абстракции нередко оказывает неоспоримое влияние на формирование образа той или иной положительной отрасли знания, если не непосредственно, то через задачу обоснования, поскольку в вопросах обоснования проблема отношения ―теория – опыт‖ сводится к проблеме ―абстракция – опыт‖. Именно здесь и вступают в силу методологические (философские) установки. Они особенно существенны тогда, когда общая потребность в обосновании определилась и вопрос только в форме обоснования. Методологические установки, представленного выше повествования, сложились в начале 60-х гг. Позднее они приобрели характер ―методологической программы‖ – явления типичного для второй половины 20-го века. Характеризуя интервальный подход как методологическую программу, еѐ авторы выделили для себя пять основных еѐ составляющих: 1) исходную единицу анализа (еѐ исходный гносеологический таксон); 2) исходную проблему, определяющую направленность исследования; 3) главный гносеологический тезис, выражающий взгляд на возможность познания (―да‖ или ―нет‖); 4) конструктивный элемент программы, в котором представлена основная идея авторов программы; 5) наконец, общую модель процесса познания. Поскольку главный гносеологический тезис интервальной программы включал безусловное ―да‖, а в качестве исходной единицы анализа было принято понятие абстракции, возникала естественная потребность в согласовании этих двух элементов программы. В самом деле, определяя абстракцию как метод намеренно неполного знания (а это следовало из всех известных ―словарных‖, да и не только словарных, еѐ толкований), необходимо было дать объяснение почти парадоксальному тезису, который по существу составлял четвѐртый пункт [1] интервальной программы: ―знание может быть частичным и всѐ-таки оставаться полным в себе‖ . Признаюсь, ни тогда, ни теперь я не знаю, как это сделать с точки зрения господствующей прадигмы, утверждающей, что всякая абстракция есть ―упрощение‖, ―огрубление‖, ―омертвление‖ действительного положения вещей. Следовательно, ревизия понятия ―абстракция‖ в этом смысле была необходима. Но тревожил и информационный аспект проблемы. Если главный гносеологический тезис содержит безусловное ―да‖, то по мере углубления познания информация должна расти, а не исчезать. Но чистое отвлечение (если только не иметь в виду временный отказ из тактических соображений) есть потеря информации. А это в конечном счѐте ведѐт к ничему. Чтобы сохранить третий пункт, пришлось ввести принцип наследования информации по мере реализации [2] последовательных обобщений . Наконец, вопрос о полных истинах, об исчерпывающем знании о чѐм-либо, указанный выше, – это вечный философский вопрос. И ответ на него, с точки зрения всѐ той же парадигмы, был таков: полное знание (то бишь абсолютная истина) абсолютно недостижима. Мы можем только асимптотически приближаться к полному знанию. Зато на этом асимптотическом пути мы кое-что можем знать приблизительно (то бишь относительно). Признаюсь, я никогда не понимал этой теории. Во всяком случае, она не давала вразумительный ответ на вопрос об отношении полного (абсолютного) и неполного (относительного) знания. Если для наглядности мы представим себе ―чистую‖ объективную реальность в виде прямой, перпендикулярной в точке а, то предел асимптоты в этой точке, как известно, будет равен бесконечности. И, как ядовито заметил Галилей, в бесконечности такую же [3] часть составляют ―много‖, как ―мало‖ и как ―ничто‖ . Я всегда считал, что истина либо есть, либо еѐ нет. И если я говорю, что ―это истина, хотя ещѐ и не вся истина‖, то это только faзon de parler, а вовсе не убеждение в существовании неких ―полуистин‖. Я понимаю интуиционистов, когда речь идѐт о неразрешимости или неустановимости истинностных значений высказываний. Но ведь при этом, как показал Гливенко, речь не идѐт о... [стр. 4 ⇒]

. Поэтому интервальный подход, отказываясь от постулата об асимптотическом приближении, заменяет его понятием о гносеологической точности знания. Именно в связи с этим поняя_ания. Именно в связи с этим пон_о на одну треть.. Поэтому интервальный подход, отказываясь от постулата об асимптотическом приближении, заменяет ановятся средством ―полного в себе‖ знания в соответствии с тезисом Эшби и научной позицией Галилея: ―я утверждаю, что человеческий разум познаѐт некоторые [4] истины столь совершенно и с такой абсолютной достоверностью, какую имеет сама природа‖ . Этого же убеждения держались Лобачевский и Пуанкаре. И об этом я подробно говорю в этой книге. Понятно, что в свете сказанного, конструктивным элементом интервальной программы должна была стать система абстракций, тактика и стратегия их применения в познавательном процессе. А для этого оказалось невозможным ограничиться той связкой абстракций, которая была унаследована от традиционной логики с добавлением математических абстракций бесконечности и осуществимости. При интервальном толковании познавательного процесса в понятие ―абстракция‖ следовало вложить больше содержания, чем его могла дать идея ―отвлечения‖. Кроме того, потребовалось поставить вопрос о гносеологическом мероопределении абстрактных объектов и ввести для этой цели ряд новых для философии понятий – интервал абстракции, интервальная ситуация, интервальное равенство, интервальная неразличимость, гносеологическая фокусировка и ряд других. Их использование позволило поновому поставить проблему истинности знания. А такие понятия, как ―интервальная ситуация‖, ―гносеологическая фокусировка‖ или ―гносеологическая точность‖ позволяют, помимо прочего, реабилитировать некоторые научные гипотезы и теории, снять с них обвинение в противоречивости или некорректности. Работая в новой области, неизбежно приходится руководствоваться интуицией. Но если иметь в виду целое, ради которого и приходится работать, то нельзя забывать, что ясность целого определяется ясностью его частей. На сегодняшний день интервальная концепция, несмотря на обилие фактов еѐ подтверждающих, всѐ ещѐ является феноменологической по существу ввиду недостаточной разработанности еѐ логических основ. Однако кое-что в этом направлении всѐ же сделано – заявлена новая область исследований, которую я называю логикой абстракций. И не только заявлена. Для некоторых абстракций уже эксплицирована сопряжѐнная с ними логика. В частности, на этой основе строится новая (интервальная) концепция тождества. При этом знаменитый лейбницевский принцип оказывается предметом более точного гносеологического анализа. Об этом я не говорю в этой части книги. Логике абстракций я надеюсь посвятить вторую часть. Еѐ основная идея – сопоставить каждой вводимой абстракции ясный логический образ. Это был бы первый шаг к созданию теории абстракций par excellence, в которой абстракции были бы замкнуты логической связью, а не блуждали бы одиноко каждая сама по себе. Конечно, для некоторых абстракций логические модели уже есть. Но эта работа требует продолжения. Наконец, я хотел бы отметить ещѐ один факт, не отражѐнный в этой книге. Если интервальная концепция познания верна, то в общей картине мира придѐтся отказаться от привычного ―идеала порядка‖. В общем случае, мы не можем говорить об ―интервальной реальности‖ как упорядоченной структуре в математическом смысле термина ―порядок‖. Если же мы хотим сохранить термин ―структура‖, то с большой вероятностью следует ожидать структуру с ―испорченным порядком‖. Пользоваться для еѐ характеристики такими понятиями, как ―иерархичность‖, ―симметрия‖ и пр. придѐтся с большой осторожностью. Интервальная структура, вообще говоря, не моделируется кристалической решѐткой, хотя в локальной области порядок, конечно, возможен. Таким образом, отаправляясь от чисто логической (а не физической) точки зрения, интервальный подход mutatis mutandis оказывается в общем круге идей, провозглашѐнных синергетикой. Надеюсь, что эта работа не расходится с установками, указанными выше. Соответственно, и задачи, поставленные в ней, определяются, во-первых, интервальным методом исследования (с целью по возможности адекватно отразить некоторые реалии, относящиеся к сфере общей научной методологии) и, во-вторых, постоянной необходимостью развития и совершенствования логики научного познания, в которой проблемы научной абстракции и абстрактных моделей, равно как и всей логико-методологической составляющей, во многих случаях являются определяющими для содержания научных теорий. В 60-е гг., когда логика научного познания получила в России возможность для самостоятельного и более полного развития, тема абстракции привлекала многих отечественных методологов науки. Однако со временем интерес к этой теме был утрачен, хотя основной объект изучения, – процессы формирования и использования абстракций в качестве важнейшей составляющей технологии научного мышления, – остался. Между тем, собственное развитие науки и соответствующие перемены в способах и средствах научного... [стр. 5 ⇒]

К сказанному остаѐтся прибавить важную мысль Вернадского (впрочем, согласующуюся с мыслью, приведѐнной выше), что научное мировоззрение, равным образом как и всякое иное, не является синонимом истины, и что в основе научного мировоззрения лежит [22] именно метод научной работы . Глава 1. Интервал абстракции как проблема методологии Педантичность во многом противоположна игре словами. (Стивен Бар, ―Топологические Эксперименты‖) В моих статьях так часто встречается выражение ―интервал абстракции‖ без явных претензий на определение, что это лингвистическое новшество можно принять как весѐлую игру словами, придуманную лишь для того, чтобы запутать читателя. Между тем, у того, кто придумал это выражение, намерения были самые серьѐзные. А придумали его – Феликс Лазарев и я в 1960 году в совместной статье, которую мы тогда же предложили журналу ―Вопросы философии‖. Эта статья не была напечатана по основанию действительно весьма забавному: редакция попала в ситуацию ―буриданова осла‖— половина рецензентов хвалила одну половину статьи, но порицала другую; другая половина рецензентов поступала в точности наоборот. С тех пор Лазарев и я, каждый по-своему, старались внедрить это выражение в тезаурус научных понятий, оставляя за собой право действовать вполне самостоятельно, хотя в частых совместных беседах мы были единодушны в признании его полезности и постоянно работали над его содержанием, чтобы уяснить хотя бы для самих себя некоторые проблемы теории познания, [23] которые нам тогда казались особенно важными . Справедливости ради отмечу, что наш философский интервальный анализ зародился за шесть лет до того, как вышла первая монография по интервальной математике, которая сделала ―интервал‖ основным предметом [24] теории . Только речь в ней шла, конечно же, не об интервалах абстракции. Увы, как я теперь вижу, ввести эвристически ценное философское понятие легче, чем претворить в теоретическую разработку соответствующую ему идею. Ведь осуществление такой идеи похоже на цепную реакцию, когда приходится ―передумывать‖ многие другие, уже привычные, понятия. Более того, философские идеи редко поддаются прямой ―аппаратной реализации‖, и философия не принадлежит к дисциплинам, методы и понятия которых пригодны для такой реализации. Но при любом начинании научных изысканий полезно всѐ же помнить слова Пьера Бейля, что точное и полное объяснение самого ничтожного предмета обязательно ведѐт к высшей метафизике, а метафизика, как выразился уже другой учѐный, может быть лучше и полнее всего [25] определена как изучение главных абстракций человеческого ума . В известном смысле теория интервала абстракции сравнима с аналитической теорией языка. Целью последней является выявление ―типовых‖ структур предложений, их элементов и возможных отношений этих элементов. Цель первой – выявление типовых структур методов абстрагирования, их элементов и отношений между этими элементами. Идея интервала абстракции – это идея философского осмысления онтологических и гносеологических предпосылок неуниверсальности абстрактных моделей. При этом понятие интервала абстракции помогает оценить и выявить эти структуры с наибольшей полнотой, поскольку именно ―интервальность‖ лежит в их основе. 1.1. Интервал абстракции. Между тем, указанная выше трудность определения этого понятия, по-видимому, вполне объективная и относится к тому случаю употребления понятий, когда бывает необходимо оставаться, так сказать, ―контролируемо неточным‖ (Ст. Бар). А это случается даже в точных науках, таких, скажем, как математика. И хотя, как отметил Кант, ―и в метафизике, и в других науках можно многое с достоверностью [26] сказать о предмете, не давая его дефиниции‖ , тем не менее любая, в том числе и контролируемая, неточность или неопределѐнность понятия должна быть как-то восполнена контекстом изложения. Применительно к понятию ―интервал абстракции‖ таким восполнением может служить только объяснение его ―появления на свет‖. Итак, начну с того, что интервальная концепция сложилась прежде всего на фактах независимости в мире событий и явлений. Можно предположить, что с понятия о независимости вообще начинается современная наука. Припомним хотя бы историю с доказательством независимости пятого постулата (Евклида), историю с постулатом о независимости от той или иной инерциальной системы отсчѐта основных законов механики (принцип относительности Галилея), доказательство независимости скорости света от скорости движения источника света (опыт Майкельсона – Морли). Эти и другие примеры преподают для философии следующий урок: постулат диалектической философии о всеобщей связи явлений, о том, что каждая ―вещь (явление, процесс etc.) связаны с... [стр. 10 ⇒]

По существу эта вторая форма закона посторонней посылки формально воспроизводит неформальную мысль Аристотеля: ―присутствие или отсутствие чего незаметно, не есть часть [31] целого‖ . Как нетрудно заметить, теорема о посторонней посылке (при отсутствии закона ex falso sequitur quodlibet) очень естественно локализует противоречие как средство дедукции, указывая на его посторонний характер по отношению к следствиям из действительных посылок. В самом деле, имея противоречие и получив вывод В из G (при любых непротиворечивых G и В), мы можем преобразовать этот вывод в два других с посылками G&А в одном и G&¬А в другом, что вернѐт нас к исходному пункту, подтвердив (в силу теоремы о посторонней посылке), что мы не извлекли из допущенного противоречия никакой новой информации. С другой стороны, имея противоречие и построив два аналогичных вывода, мы отбросим оба члена противоречия как посторонние посылки. В методологическом плане, решение вопроса о посторонних свойствах обеспечивает обоснованность абстракции при решении определѐнной задачи, когда этот вопрос ставится по отношению к целям и методу абстракции. Но так как в разных условиях эти цели и методы могут быть различными, мы не должны увлекаться ни абсолютной релевантностью тех или иных свойств, как это делала схоластическая философия, ни их абсолютно посторонним характером. Всегда полезно иметь в виду их интервальную относительность. Тем не менее, выяснение того, какие из многочисленных свойств объекта являются посторонними – это по существу главный вопрос абстракции: пренебречь можно только посторонним, но посторонним необходимо пренебречь, как в гносеологическом контексте, [32] когда просто ―мешают трудности, не относящиеся к делу‖ , так и в семиотическом контексте [33] ―установления и прослеживания связей‖, когда речь идѐт об обосновании научной теории . Очевидно, что этот главный вопрос не совпадает с традиционным философским вопросом о существенных и несущественных свойствах хотя бы потому, что отвлечение от постороннего предполагает направленность внимания не на объект сам по себе, а на его роль в определѐнной гносеологической ситуации, когда явно фиксируются цели, средства и объективные условия для области значения абстракции. Вопрос о границах этой области не всегда допускает априорный ответ. Но он естественно приводит к вопросу об интервале абстракции – либо как количественной характеристике меры свободы отвлечения, либо как меры информационного содержания абстракции, совпадающего с набором общих свойств класса еѐ возможных моделей. Таков, в частности, случай основных абстракций какой-либо формальной теории, которые очерчивают и замыкают круг возможных моделей этой теории, независимо от их онтологического статуса и индивидуальных особенностей, хотя обычное осмысление теории, включая еѐ аксиомы и прочие принципы, идѐт, как правило, иным путѐм – путѐм интерпретации этой теории в заведомо данных моделях. Типичный пример – осмысление решений обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных как законов природы посредством предварительного выбора ―краевых условий‖. Вопросы о релевантном и постороннем, об общности и интервале абстракции нередко решаются одновременно. Например, обобщение законов движения на область электромагнитных... [стр. 11 ⇒]

При этом отношение между этой теорией и еѐ моделями определяется метрической организацией опыта, поставляющего эти модели, а экстраполяция еѐ абстракций на новые (другие) модели требует, в свою очередь, улучшения измерительной техники, что рано или поздно приводит к границам экстраполяции. Разумеется, когда я связываю понятие интервала абстракции с понятием граничных условий, я имею в виду не те границы, которые обнаруживаются после того, как в процессе применения абстракции (обычно экстраполяции) для неѐ обнаруживается контрпример. Нет, я имею в виду прежде всего тот случай, когда границы абстракции можно заведомо предусмотреть, когда информация об этих границах представлена теоретически или может быть выявлена одним логическим анализом абстракции, как, например, в случае распознавания области определения функции по одному только аналитическому выражению этой функции. Только такие границы, по определению, я называю интервалом абстракции, придавая таким образом этому понятию собственно информационный смысл. Можно предположить (впрочем, без явной уверенности), что понятие интервала абстракции в этом смысле родственно гегелевскому понятию ―абстрактное значение‖, которое в самом себе обладает завершѐнностью и выражает своего рода ―долженствование‖ собственной реализации, требование объективировать своѐ субъективное значение. Переход к модели абстракции, еѐ интерпретация – это и есть такое объективирование. Конечно же, данное толкование термина ―интервал абстракции‖ не единственное. Лазарев, например, склонен придавать этому термину онтологический смысл, называя интервалом абстракции―объективные границы, определяющие рамки однозначной применимости той или иной [35] абстракции‖ . Однако такое понимание интервала абстракции ничем по существу не отличается от его толкования как области истинности абстракции, а все разговоры о границах истинности абстракции до интервального подхода к этой проблеме ограничивались именно этим и не касались вопроса определѐнности абстракции на области еѐ значений. Между тем, не одно и то же, идѐт ли речь об области истинности абстракции или об области еѐ значений. Здесь та же трудность редукции, как и в случае экстенсионала и интенсионала понятия. Пусть, например, теория задана двумя абстрактными условиями: 1. "х ¬ (хRх), 2. "х "у"z (хRy & yRz É xRz), где R – это имя некоторого отношения, а переменные x, y, z пробегают некоторый класс объектов (универсум возможной модели теории). Ясно, что в этом случае ни подразумеваемый класс, ни названное отношение не определены однозначно и, следовательно, речь здесь не может идти об однозначности интервала абстракции в его онтологическом смысле. Анализируя подробнее систему аксиом 1 и 2, нетрудно убедиться, что она описывает класс синтаксически неразличимых отношений порядка. Но мы можем пойти значительно дальше в исследовании того, что нам доступно только ―изнутри‖ этой системы. Так, обе аксиомы a priori говорят, что отношение R не может быть отношением тождества, эквивалентности, различия или нестрогим порядком. Следовательно, если универсум возможной модели не пуст, то он не может быть одноэлементным. Но утверждать, что этот универсум содержит только два элемента или что число элементов больше двух, вообще говоря, тоже нельзя – их по меньшей мере два. Добавление новых различных элементов сохраняет истинность аксиом. Но она сохранится и в том случае, если новые элементы (например, начиная с третьего) мы станем отождествлять (не различать) с любыми из уже известных. Такого рода отождествления, разумеется, не определены заранее, их произвольный характер допустим лишь до тех пор, пока мы находимся внутри интервала абстракции. Но когда определѐнная онтология для абстракции выбрана, разрешаются уже не любые отождествления. Из сказанного непосредственно и опять-таки a priori вытекает некатегоричность приведѐнной выше системы аксиом. Эта информация заключена внутри самой системы (теории), хотя, оставаясь исключительно в рамках теории, нельзя привести ни одного примера неизоморфизма еѐ возможных моделей: любые попытки построения таких моделей требуют обращения к каким-либо внешним фактам, выходящим за границы абстракции. Теория указывает только на возможность их существования. Над интервалом абстракций данной теории еѐ модели могут быть конечными или бесконечными, но внутри интервала абстракций нет средств, различающих мощности еѐ моделей. Тем не менее, это не означает, что аксиомы нашей формальной теории нельзя рассматривать как высказывания пока они не сопоставлены с некоторой моделью. Аксиомы представляют собою абстракции, это верно. Но это не понятия с пустым объѐмом. Их априорное содержание указано выше. А потому, с точки зрения, обусловленной интервалом абстракции, уже нельзя сказать,... [стр. 12 ⇒]

Правда, базовым множеством нашей теории является не одно, а класс множеств, индивидуация элементов которого не выходит за рамки фиксированного интервала абстракции. Такой ―подход от абстракции‖ к онтологии понятия ―мир‖ делает относительным противопоставление действительного мира возможным мирам, поскольку сама онтология оказывается функцией наших гносеологических установок. Вместе с тем на этом примере, по моему, ясно, почему и в каком смысле понятие ―универсум теории‖ является гносеологическим понятием и почему вообще имеет смысл говорить об универсуме теории независимо от понятий ―универсум структуры‖ или ―универсум модели‖, хотя в естественных науках такое разделение универсумов не принято, поскольку ―картины мира‖ здесь обычно всецело определяются как образы той или иной теории. Но в логике мы редко встречаем такую ―информационную однозначность‖. Рассмотренное выше понятие об интервале абстракции определяется, как легко заметить, не объективными условиями ―восхождения‖ от конкретного к абстрактному, а только собственной логикой абстракции, которая отражается в еѐ синтаксической или смысловой структуре. Но именно это обстоятельство и позволяет естественным образом заявить об абсолютном гносеологическом содержании абстракций, которое, говоря словами Лобачевского, будучи однажды приобретѐнным, сохраняется навсегда. Кроме того, термин ―интервал абстракции‖ в таком его истолковании приобретает известную эвристическую ценность, характеризуя содержание абстракции как некоторое требование, ―вынуждающее‖ если и не сами модели, независимые от абстракций, то весьма общие ―модельные условия‖, в которых отражается замысел абстракции. Вместе с тем, учитывая, что осмысленность абстракции обычно связывают с еѐ эмпирической применимостью, каждую модель абстракции естественно рассматривать как элементарное событие реализуемости этой абстракции, а полную информацию, содержащуюся в абстракции, связывать не с выбором одного события из многих возможных, а с выбором всех таких возможных событий. Тогда интервал абстракции естественно мыслить как сумму информаций, заключѐнных в отдельных событиях, а класс всех возможных моделей абстракции – как объѐм этого понятия. И хотя такое толкование, вообще говоря, отличается от приведѐнного выше, отличие это не столь уж существенно в том (особенно важном) случае, когда для той или иной абстрактной теории можно доказать теорему о представлении или когда имеются достаточные основания для веры в такую возможность, как это обычно бывает при неформальном и интуитивном употреблении понятий. Вторая основная идея, из которой выросла интервальная концепция, – это идея относительности. И здесь опять пришлось вступить в противоречие с главной чертой диалектического метода: объективность рассмотрения – это ―вещь сама в себе‖. При этом невозможно было обойти молчанием замечание Эйнштейна о том, что тезис о реальности ―самой по себе‖ (независимой от каких-либо наблюдений) не имеет смысла внутренне ясного утверждения; он обладает только программным характером и нужен для того, чтобы избежать [37] солипсизма . Тут стоит упомянуть по крайней мере три разных смысла, которые мы вкладываем в термин ―относительность‖. Первый говорит о приблизительности знания, о неполной информации о фактах, об ―учѐном незнании‖, о том, что наше суждение может оказаться ошибочным, если познание пойдѐт дальше. Второй вводит относительность как результат сравнения – всѐ познаѐтся в сравнении и, следовательно, в отношении одного к другому. Наконец, третий говорит о зависимости наших знаний от принятой точки зрения, от системы отсчѐта, от положения наблюдателя, о том, что всѐ наше знание подобно явлениям перспективы (―положение наблюдателя‖ в этом случае есть некое объективное обстояние). При этом постулирование равноправия точек зрения, систем отсчѐта, положений наблюдателя и пр. основывается, конечно, не на этических мотивах, не на ―принципе терпимости‖, а на мотивах гносеологических и экспериментальных, связанных с потребностью разыскания общих принципов и законов, с анализом интерсубъективных доказательств. К примеру, невозможность обнаружить экспериментально, в локальном опыте, ―абсолютную‖ систему отсчѐта индуцирует общую идею относительности всех систем отсчѐта, идею их равноправия. Но, принимая относительность как неизбежный постулат познания (хотя бы в том элементарном значении, что всѐ познаѐтся в сравнении, и следовательно, – в отношении одного к другому), желательно избежать ―плюрализма истины‖ в его чисто субъективистском смысле, а с объективностью истины связать не только еѐ программный характер. Хотя тема относительности, никогда не покидала пределы философского поля зрения, собственно научную прописку она получила заботами современной физики, которая начала с того, что способ описания сделала неотъемлемой частью физической теории, утвердив относительность знания к средствам наблюдения. Такая гносеологическая роль относительности... [стр. 13 ⇒]

Так или почти так обстоит дело и с термином ―абстракция‖. Дифференциация его понятийных значений подразумевается давно. Но необходим еще логический анализ этих подразумеваемых значений. Тогда тема абстракции, возможно, представит бóльший интерес для методологов науки. Пока же, как известно, эта тема непопулярна. 2.1. Странички истории. Возможно, что первым, кто стал рассматривать абстракцию как научный метод анализа явлений (в отличие от абстрактного как духовного начала или acide Платона), был Аристотель. Он считал, что посредством абстракции можно наилучшим образом вести исследование, а мысленное разделение целого, свойственное абстракции, хотя и создает феномен нереальности результата, объективно все же оправдано многообразием свойств целого и относительной их независимостью друг от друга. И поскольку обо всѐм можно говорить в нескольких разных аспектах рассмотрения, порою даже столь разных, что они вообще не могут стать предметом одной науки, абстракция, по Аристотелю, не является произволом нашего мышления, не насилует природу, ведь―если, полагая что-то обособленно от привходящих свойств, рассматривают его, поскольку оно таково, то не получится никакой [53] ошибки‖ . Хотя Аристотель не принял платонизм, в вопросе объективности абстракций Аристотель был осторожнее номиналистов. Он вполне допускал, что об абстрактном тоже можно говорить [54] как о сущем . Ведь иначе и научное познание, которое всегда есть познание общего и абстрактного, лишилось бы смысла. Поэтому абстракции не только представляют собой основную предпосылку научного познания, но и ―создают науку‖. В науке мы стремимся давать определения и доказывать, поскольку убеждены, что и то и другое выражает некую необходимость. А в отдельных единичных вещах, хотя они и представляют собой действительно сущее, необходимости нет. Поэтому преходящие объекты опыта важны для науки не сами по себе, а в той мере, в какой они причастны к какой-нибудь абстракции. Например, в физике – к движению, в математике – к числу или пространству. У Аристотеля можно найти намек и на классификацию абстракций. Точнее, на то, что в наше время выработалось в форму различения эмпирических (феноменологических) и теоретических законов науки. По крайней мере, Аристотель отделял математическую (теоретическую) абстракцию от эмпирической. Например, движение он считал эмпирической абстракцией, а основные понятия арифметики и геометрии – теоретическими абстракциями. Он вполне понимал, что теоретические абстракции необходимы там, где постигаемое мыслью и сама мысль неотличимы друг от друга. А именно так обстоит дело в математике, где, по мнению Аристотеля, знание и предмет знания, по существу, совпадают, так как предметом знания здесь являются логические формулировки самих абстракций. Аристотелевская теория абстракций – это, по-видимому, самое значительное из того, что оставила нам ранняя античность на эту тему. Схоластика, включая арабоязычный неоплатонизм, свела тему абстракции к теме универсалий, связав еѐ с понятием arche, что соответствовало философской мысли, ориентированной на logos, но не на physis. Правда, она отчасти рафинировала проблему абстракции учением о континууме и бесконечности, но только в онтологическом аспекте, устранив в какой-то мере гносеологическую направленность аристотелевской теории. А когда на смену средневековой ―книжной науке‖ пришла опытная наука нового времени, тема абстракции, казалось, вовсе сошла на нет. И Бэкон, и Декарт, и Лейбниц – все говорили о методе и почти никто об абстракции. Разве что попутно в связи с образованием общих понятий, сопровождая сказанное уничижительным ―лишь абстракция‖, то есть то, что не имеет объективной достоверности, или попросту не существует. Правда, Локка нередко называют родоначальником современной теории абстракции. Но и он не пользовался термином ―абстракция‖, предпочитая говорить об общих идеях В итоге онтологический и гносеологический взгляд на абстракцию сменился психологическим: абстракция представлялась теперь просто вынужденным ―действием души‖ по выработке общих понятий, необходимость в которых обусловлена несовершенством рассудка, неприспособленного познавать иначе естественную (и нераздельную) ―природу вещей‖. И сенсуализм, и рационализм 17-18 вв. были почти единодушны в том, что ―опредмечивание‖ (онтологизирование) абстракций не только заслоняет от глаз исследователя особенности реальных явлений, но и приводит к гипостазированию фиктивных сущностей и бессодержательных представлений. Известным выражением этой позиции явилось кантовское требование ―сделать чувственным (sinnlich) всякое абстрактное понятие, т. е. показать соответствующий ему объект в созерцании, так как без этого понятие... было [55] бы бессмысленным (ohne Sinn), т. е. лишѐнным значения‖ . В целом в эту эпоху тема абстракции надолго уступила место теме наблюдения, индукции, эксперимента и т. п., то есть изучению всех тех условий, которые стали определять с тех пор понятие рационального научного метода как продуктивного пути в исследовании и познании природы. [стр. 19 ⇒]

Ещѐ философ Евдем, друг и ученик Аристотеля, определил путь познания как переход от чувственного восприятия к мысленному созерцанию и от последнего – к разумному знанию. В этом примечательном определении как будто узнаѐтся современный нам взгляд на диалектический путь познания. Однако стоит перевести евдемовскую мысль в наглядный образ [56] ее логической модели , как тотчас же обнаруживается разница. На пути познания, начертанном античной мыслью, предполагалась окончательная остановка: лишь только знание достигается, путь познания обрывается. Историческая экстраполяция этой модели почти очевидна. Идея законченности космологических принципов присуща и сознанию античности, и сознанию эпохи раннего и позднего средневековья. Только у мыслителей эпохи Возрождения мы находим принципиально новый методологический шаг: от асимметричного отношения ―опыт—теория‖ к композиции отношений ―опыт —теория‖ и ―теория—опыт‖, сообщая познанию, таким образом, некоторый вид развития. Это, конечно, был ещѐ первый шаг навстречу экспериментальной проверке, навстречу опыту как методу. Но вскоре за этим первым шагом последовал и второй – родился гипотетико-дедуктивный метод Коперника – Галилея. С тех пор гипотетико-дедуктивный метод становится нормой в рабочей мастерской исследователя. Однако на характер философской позиции, на методологическую рефлексию исследователей это, по-видимому, почти не влияет. Опыт и основанная на опыте аргументация вместо абстракций – вот духовная установка, определявшая эту позицию и эту рефлексию едва ли не до конца прошлого столетия. Правда, ―дух гипотез‖, как выразился Д.-Ф. Араго, какое-то время ещѐ царил в рационалистических школах Декарта и Лейбница, и в этом же духе выдержано первое издание ньютоновских ―Начал‖ (1687). Но после его ―Правил философствования‖ (1713), после его ―hypotheses non fingo‖, эмпиризм стал одерживать верх. Сам Ньютон не был, конечно, эмпириком. Но своей приверженностью к эмпирической индукции как высочайшей инстанции в оценке физических принципов он немало содействовал распространению эмпиризма. ―Мне кажется, – писал Ньютон, – что наилучший и самый верный метод в философии – сначала тщательно исследовать свойства вещей и установить эти свойства опытами и затем уже постепенно переходить к гипотезам для объяснения их. Ибо гипотезы полезны только для объяснения свойств вещей, а не для определения их, по крайней [57] мере, поскольку свойства могут быть установлены опытами‖ . Многим тогда казалось, что абстракции, безусловно полезные для классификации знаний, непригодны для их приращения. И уж тем более не годятся в качестве первых принципов познания, если они имеют вид априорных гипотез, а не опытных истин. Беззаветная вера в индукцию, в наблюдение и эксперимент, в полученные на их основе факты и общие положения, выведенные из этих фактов, вытеснила из философского сознания античную идею дедукции [58] фактов из абстрактных принципов . В то же время экспансия сенсуализма с его стремлением сочетать ―максимум эмпирии с минимумом теории‖ сделала какую-либо научную теорию абстракций и вовсе излишней: ―всякая абстрактная идея должна быть объяснена другой, менее абстрактной, и так следует поступать последовательно до тех пор, пока мы не придем к некоторой частной и чувственной (sensible) [59] идее‖ . В этом программном заявлении эпохи первых промышленных революций отчетливо звучит мотив семиотической доктрины грядущего позитивизма. Но это пока не борьба с метафизикой, а борьба самой метафизики против схоластики. Существенно, что рационализм и эмпиризм этого периода, взяв психологический курс в трактовке абстракции, видели в ней всего лишь ―отрицательное условие образования [60] общезначимых представлений‖ . И философия начала 19 в. существенно не изменила этой оценки. В частности, Гегель, признавая абстракцию как первый (исходный) элемент духовного освоения реальности и включая абстракцию в обыденный и научный опыт (уже простое наблюдение нуждается в способности к абстракции), в то же время причислял абстракцию к ―формальной мысли‖, чуждой философскому методу, и порицал абстрактное за односторонность и пустоту. В субъективном акте абстрагирования Гегель видит противопоставление всеобщего единичному, выставляя единичное как нечто ―презираемое абстракцией‖, так что именно в силу этого противопоставления абстракция не может постичь подлинную (живую) реальность и ―приходит лишь к безжизненным и бездуховным, бесцветным [61] и бессодержательным всеобщностям‖ . Замечу, однако, что для Гегеля абстрактность и всеобщность не совпадают, они различаются как средство и цель. Общность, к которой приводит абстракция (путѐм отвлечения) имеет сугубо отрицательный смысл. Напротив, подлинная (конкретная) общность возникает на пути, обратном абстракции, за счѐт синтеза абстрактных определений. Сначала анализируем и обобщаем абстрактно, затем синтезируем и обобщаем конкретно. Последний путь и есть пресловутое ―восхождение от абстрактного к конкретному‖. Справедливости ради замечу, что психологическая трактовка абстракции не удовлетворяла Гегеля. И хотя он исходит из постулата о тождестве мышления и бытия, он... [стр. 20 ⇒]

При этом Гегель высказывает важную мысль о ―собственном содержании‖ абстракций как темы, образующей основу для выполнения, которая, между прочим, и составляет ―живой дух действительности‖. Энтузиазм, с каким иные философские школы различных направлений умаляли абстракцию как форму и метод познания природы, был пропорционален пафосу их натурфилософских амбиций. Только к середине 19 в. признание гносеологической значимости абстракции выходит за пределы еѐ понимания как ―отвлечѐнной мысли‖, распространяясь на методы объяснения явлений природы и общественной жизни. Причѐм посредством абстракции анализируется и объясняется не только статика, но и динамика явлений. В гуманитарной области это относится в первую очередь к философскому анализу К. Маркса, в котором объективная диалектика развития осознаѐтся через развитие субъективной диалектики понятий, и поэтому принцип абстракции играет в ней ведущую роль. Но и в естественнонаучной методологии тех лет, в сущности далѐкой от сознательной диалектики, применение абстрактных моделей ―достигает поразительных результатов в объяснении явлений [63] природы‖ . В результате и в научной методологии духовная установка послесхолостической реформации (―вместо абстракций – опыт‖) постепенно заменяется компромиссом, когда абстракции признаются как выражения реальных взаимодействий эмпирических (конкретных) объектов. Даже позитивизм (в форме эпистемологического скептицизма) в известной мере принял этот компромисс, отводя абстракции не только руководящую роль в научном исследовании (как методу ―логической схематизации‖), но и признавая за ней некоторый ―род [64] реальности‖ . Тогда же появилась и первая терминология по классификации абстракций: изолирующая и обобщающая абстракции, истолкованные в манере номинализма, – вот главное наследие этого периода. Лишь в конце прошлого и в начале нынешнего века в адрес традиционной, по существу [65] локковской (психологической), концепции абстракции прозвучали критические голоса . Традиционная концепция абстракции была признана недостаточной для объяснения образования научных понятий прежде всего потому, что она усматривала ключ к логическому содержанию любой формы понятия в психологическом акте отвлечения. Последовательное проведение такой точки зрения воздвигало ―пирамиду понятий‖, которая вела в пустоту. Основывалась на несходстве способов образования понятий в математике и в естественных науках, критикой был поставлен вопрос, всегда ли математические понятия, даже непосредственно близкие нашей интуиции, можно представить как результат изолирующей или же обобщающей абстракции? К примеру, абстрагируем ли мы в традиционном локковском смысле, когда определяем прямую как функцию у = х + k? Выражаясь более общо, можно вопрос поставить так: является ли психологический (и эмпирический) подход к процессу абстракции универсальным или же он недостаточен и существенно ограничен в сфере математического творчества? Вот как отвечаал на этот вопрос Кассирер: ―Понятие о точке, о линии, о поверхности невозможно рассматривать как непосредственный частичный состав данного налицо физического тела, и их нельзя поэтому извлечь из него путѐм простой ―абстракции‖... Голой ―абстракции‖ здесь противостоит своеобразный акт мышления, свободное творчество определѐнных связей отношения... Учение об абстракции теряет здесь или своѐ всеобщее [66] значение, или свойственный ей с самого начала специфический логический характер‖ . Видеть ―специфический логический‖ характер абстракции в субъективном акте отвлечения, – это, конечно, дань традиции. Но поскольку иного, по определению, не дано, Кассирер в приведѐнном отрывке, чтобы предусмотреть возможность ―свободного творчества‖, намечает переход от проблемы абстракции к проблеме идеализации, которая была поставлена ещѐ Феликсом Клейном в его ―Эрлангенской программе‖ (1872). Оценивая абстракцию только как психологический акт отвлечения, слишком связанный с чувственным содержанием опыта, Клейн ставил идеализацию выше абстракции в творческом плане, усматривая еѐ суть в логической обработке факта, в его преобразовании в доведѐнный до совершенства теоретический рафинированный образ. ―В этом ―идеализировании‖ эмпирических данных, – писал Клейн, – лежит истинная сущность аксиом. Наше прибавление к эмпирическим данным ограничено при этом в своѐм произволе тем, что оно должно приспособляться к фактам опыта [67] и, с другой стороны, не может вводить никаких логических противоречий‖ . При такой постановке вопроса решающим фактором возрождения интереса к теме абстракции явилась, конечно, канторовская теория множеств с сопутствующим ей утверждением, что ―суть математики в еѐ свободе‖. Постулируя множество в качестве реальной сущности, Г. Кантор предложил отличать интуитивно ясный эмпирический факт наличия многих вещей – множественности их – от множества как единой вещи, которая уже не является [68] эмпирическим фактом и, вообще говоря, не может быть проиллюстрирована на примере . [стр. 21 ⇒]

В этом залог развития языка и развития понятий. Но для такого развития подразумеваемое и неизреченное бывает нередко важнее высказанного, важнее точных определений. Вот почему, обращаясь к семантике слова ―абстракция‖, я вовсе не претендую на полноту возможных здесь толкований. Я не претендую и на какое-либо ―единственно правильное‖ понимание абстракции, на то, чтобы выявить некий ―истинный смысл‖ того, что обычно называют абстракцией. Ведь я отношусь к абстракции как к философской категории. А уже логики Пор-Рояля полагали, что любую систему категорий полезнее всего рассматривать как произвольно установленную систему понятий, которая, в зависимости от философской установки, с одинаковым правом может быть заменена какойлибо иной системой понятий. И всѐ же главное, на чѐм основывается интервальная установка, – это смысловое содержание понятия ―абстракция‖. По замыслу этой установки, оно значительно шире чем то, что индуцировано буквальным переводом с латинского. В сущности мы следуем здесь завету Уайтхеда: каждому философскому понятию ―придавать самое широкое значение, какое оно [78] только способно иметь. Только так можно установить подлинную ценность идей‖ . А ценность абстракции (с интервальной точки зрения), в частности, в том, что именно ей мы обязаны нашей способностью мышления. Абстрактны все когнитивные (―вторичные‖) образы знания – от перцептивных (восприятия, представления и пр.) до концептуальных (понятия, суждения, теории и пр.). В этом смысле абстракция универсальна. Поскольку наука всецело связана с абстрактным мышлением, она, полагал Гегель, исключает возможность воображения. Много позже, Гильберт, когда один из его учеников оставил математику ради поэзии, заметил, что для математики последнему не хватило воображения. А ещѐ позднее, основатель российского конструктивизма, Марков полагал, что [79] фантазировать в науке – это привлекать те или иные абстракции . Тут абстракция толковалась уже широко, включая и процесс идеализации. Конечно, мы вправе задать вопрос, способна и должна ли абстракция служить положительному приращению знания? Очевидно, что, ограничивая абстрактное отвлечѐнным, мы вряд ли можем рассчитывать на какое-либо положительное приращение. В актах ―чистого отвлечения‖ абстракция представляет собой информационный процесс в собственном смысле – процесс ограничения разнообразия. Однако этот процесс только предваряет мысленный анализ возможных отношений между абстрактным образом (абстрактным объектом) и его (возможно наглядным) источником, а не завершает его. Упрощѐнный образ, лишѐнный ―побочных черт‖ и ―массы подробностей‖ соответствует научным задачам лишь до известного момента, пока обеспечивается возможность видеть ―всѐ‖, от чего абстрагируют. Дальнейшая работа абстракции нередко требует дискредитации наглядных образов, созданных актами чистого отвлечения, переходов к собственно мыслимым образам реальности. И тут аргумент от языковой нормы вполне уместен. Но различать абстракцию и отвлечение – это не просто делать ход в ―языковой игре‖. Такое различение имеет далеко идущее гносеологическое продолжение. Синтаксическая сочетаемость русского глагола ―абстрагировать‖ выражается, как известно, в двух формах этого глагола: переходной – абстрагировать что-то, и непереходной – [80] абстрагировать (абстрагироваться) от чего-то . Их позиции в языке равноправны, но семантические задачи неодинаковы. Переходная форма выражает направленность внимания на то, чтó абстрагируется. Непереходная форма, напротив, – на то, от чего абстрагируются. Два этих разных умственных акта отвечают двум разным аспектам познавательного процесса. И от того, какой аспект мы в данный момент выбираем, зависит контекстная реализация синтактико[81] семантической позиции при слове ―абстрагировать‖ . Похоже, что, создавая абстрактные объекты науки, мы апеллируем к первой форме чаще, чем ко второй, которая имеет неприятный привкус отрицания. Но, вообще говоря, это только кажущееся разделение интереса в интеллектуальной ―игре в абстракцию‖, поскольку обе формы дополняют друг друга. Семантическую задачу переходной формы я называю положительной, а семантическую задачу его непереходной формы – отрицательной. Деление это, конечно, условно и относительно, как условно и относительно деление вещественной прямой на положительное и отрицательное направления. Однако сами задачи нередко абсолютизируют. И тогда естественно поляризуется ценностное отношение к абстракции. Те, кто имеет в виду положительную задачу, говорят о научном предназначении абстракции отражать ―существо дела‖, законы явлений, объективные ―формы и ритмы‖. Те же, кто имеет в виду отрицательную задачу, указывают на односторонность и бедность абстракции, на ее субъективность, на то, что [82] абстрактность – это ―изолированный, неполный момент понятия, в которой нет истины ― . Примеров такого полярного отношения к абстракции в истории науки немало. [стр. 23 ⇒]

Аристотель, как уже отмечалось, основную ценность абстракции усматривал в разрешении еѐ положительной задачи. Он считал, что приемлемый уровень научного понимания связан с выработкой абстракций, дающих нам модели объяснения и обобщения фактов. Ведь опыт – это всегда регулярность, повторение одного и того же, а осознание ―одного и того же‖, по мнению Аристотеля,— это необходимый шаг к обобщению и абстракции. Кант, в отличие от Аристотеля, главной считал отрицательную задачу абстракции. Кант возражал против языковой практики употребления глагола ―абстрагировать‖ в переходной форме. ―Мы не должны говорить: абстрагировать нечто (abstrahere alquid), но: абстрагировать [83] от чего-либо (abstrahere ab aliquo)‖ . Этот протест против сложившейся языковой нормы кажется странным, но он легко объясним номиналистической установкой Канта на ―исключение абстракций‖. Абстрактное, по Канту, атрибутивно, но не сущностно. Поэтому абстрактное не выделяется само по себе как субъект, как ens reale, как онтологическая сущность, а только мыслится как предикат, как ens rationis, как нечто неотделимое от того, что в действительности является сущностью. Отсюда и взгляд на абстракцию как на отрицательное условие познания: ―Понятие,— говорил Кант,— осуществляется не благодаря абстракции; абстракция лишь [84] завершает его и заключает в определенные границы‖ . Общность понятия— это лишь косвенное дело абстракции, поскольку она помогает отвлекаться от того, что не входит в наше намерение, и исключать различное в сходном и тождественном. Рассмотренные примеры типичны, и я не стану приводить других. Но как бы ни складывалось отношение к абстракции в той или иной теории познания, привычка выделять в абстракции ее отрицательный, элиминативный, аспект всегда преобладала в ее словарных определениях. И объяснение этому, пожалуй, простое – в лексическом поле нашего языка слова ―абстракция‖ и ―отвлечение‖ традиционно живут как равноправные стилистические варианты, как слова-синонимы. Между тем, давно известно, что лексическая сочетаемость слов ―абстракция‖ и ―отвлечение‖ не одинакова, что и сами эти слова, и соответствующие им глаголы, вообще [85] говоря, не подстановочны, а следовательно, и не тождественны . И если к особенностям этой синонимии подходить серьезно, учитывая фразеологические варианты значений в реальных условиях речи, в актах языкового действия, когда слова обретают их истинную смысловую ценность, отклоняющуюся, как правило, от свободной словарной нормы, а также – всегда возможные терминологические переносы, порождающие еще новые группы значений, то следовало бы, пожалуй, говорить здесь только о контекстуальной синонимии или, быть может, лишь о частичном совпадении синонимических рядов значений, связанных с каждым из этих терминов. Так, в частности, абстракция как результат процесса абстрагирования – это очевидный метонимический перенос с новым значением. Причем субстантивация значения имеет здесь существенные методологические последствия: в зависимости от сферы приложения результаты процесса абстракции (абстрагирования) могут быть очень разными объектами – от чувственных образов, данных в опыте, до идеальных образов науки. 2.3. Абстрактный объект. Чтобы понять, что такое абстрактный объект, нет необходимости взбираться на верхние этажи познания. Абстрактным называют любой объект, созданный какой-либо абстракцией или при посредстве какой-либо абстракции. При этом результат абстракции мыслится как нечто самосущее (abstract entity), как отдельная реалия в системе определѐнных представлений. К примеру, в системе представлений о письменности русского языка каждая буква алфавита мыслится как абстрактный объект. – как ―абстрактная буква‖, в отличие от оттиска такой буквы на странице (данного) текста – еѐ ―конкретного‖ (материального) представителя, манифестации абстрактного объекта в письменной речи. В устной речи еѐ конкретным представителем служит определѐнный фонетический звук. Аналогичным образом, слова из словников энциклопедий – это абстрактные слова. Их имеют в виду, когда энциклопедии составляют и готовят к изданию. Но когда энциклопедии печатают в типографии, то имеют в виду уже конкретных представителей абстрактных слов. Различение букв на конкретные и абстрактные вовсе не произвольно. Оно отражает реальные черты языковой практики. Так, буквы, которые пишут или печатают, согласно заранее установленным образцам – прописям или шрифтам, – это конкретные буквы. Но именно абстрактные буквы имеют в виду, когда пишут или печатают конкретные буквы. Чтобы напечатать слово ―логика‖ требуется шесть конкретных букв (в типографской технике прошлых лет – шесть типографских литер) и столько же абстрактных букв надо при этом иметь в виду. А чтобы напечатать слово ―философия‖ требуется девять конкретных букв (девять типографских литер), однако только шесть абстрактных букв надо при этом иметь в виду. Поэтому, набирая слово ―логика‖ (тем способом, которым печатали книги в недалѐком прошлом), наборщик должен был брать по одной литере из шести ячеек наборной кассы. Из стольких же ячеек он должен был взять литеры, набирая слово ―философия‖, но при этом из трѐх ячеек он возьмѐт более чем одну (в точности две) литеру. Последнее указывает на многократное появление в... [стр. 24 ⇒]

По существу, связывая функцию с определѐнным еѐ выражением (еѐ записью), само это выражение выделяют только как ―носителя‖ (представителя) функции, хотя тоже абстрактного. Очевидно, что выступая как информационный посредник между мыслью и объективной реальностью, представитель абстрактного объекта информирует в первую очередь не о себе самом, а о том объекте, который он представляет. Поэтому существен только тип представителя, а не его ―личные‖ свойства‖. Это как раз и служит объективной основой для абстракции отождествления представителей. Правда, иногда представитель может информировать и о себе самом. Но тогда его семантическая роль меняется. Например, если в русском тексте строчная буква стоит непосредственно после точки, это может указывать (но не обязательно указывает) на ошибку. Отмеченная выше особенность отношений между абстрактными объектами и их представителями служит, как я уже говорил, объективной основой для абстракции отождествленияпредставителей. Этой абстракцией создаются многие абстрактные объекты, но не все. Той же цели порознь или сообща служат абстракция неразличимости и абстракция индивидуации, изолирующая абстракция и др. Такие абстрактные объекты как функции и функционалы порождаются, как отмечено выше, функциональной абстракцией. В математике весьма важным теоретическим средством порождения абстрактных объектов являются абстракции бесконечности и осуществимости. В частности, используя абстракцию постоянства, абстракцию индивидуации и абстракцию потенциальной осуществимости, последовательно порождают натуральные числа и потенциально бесконечный натуральный ряд как абстрактные объекты арифметики. В свою очередь, дополняя указанные выше абстракции абстракцией актуальной бесконечности и схемой трансфинитной индукции, получают универсум всех натуральных чисел, а из последнего – упорядоченный вещественный континуум – абстрактные объекты анализа и теории множеств. В этом и во многих других случаях вопрос о конкретных представителях, вообще говоря, не имеет эффективного решения: лишь немногие из всех вещественных чисел имеют таких представителей. В зависимости от силы абстракций, порождающих абстрактные объекты, последние подразделяют на реальные и идеальные. Хотя и те, другие объекты абстрактны, для них поразному ставится и решается проблема существования. В первом случае она имеет конструктивное решение, во втором – нет. Таким образом, идеальные абстрактные объекты – это объекты, утверждение о существовании которых выходит за пределы эффективной проверки или осуществимости. К примеру, упомянутый выше континуум классического анализа – это идеальный абстрактный объект, а континуум конструктивного анализа – нет. И всѐ же преувеличивать это различие, вообще говоря, не стоит. Будем ли мы называть материальной точкой вполне реальное физическое тело, размерами которого мы пренебрегаем (абстрактный объект), или же полученную предельным переходом далеко идущую идеализацию – тело бесконечно малой протяжѐнности (объѐма), обладающее конечной массой (идеальный объект), это не изменяет главного: все объекты такого рода (все ―материальные точки‖, как бы мы их не определили!) подчиняются определѐнным правилам (законам) и участвуют в строго определѐнной системе отношений. Именно эта система и определяет содержание абстрактного объекта ―материальная точка‖. Нередко говорят, что понятие ―абстрактный объект‖ исчерпывается понятием о свойствах конкретных (эмпирически наблюдаемых, материальных) объектов. Однако, хотя каждый шаг перехода от мира наблюдаемых объектов к миру чисто теоретических сущностей обусловлен, конечно, некоторой абстракцией, замещающей наблюдаемый объект его теоретическим образом, в общем случае, абстрагируя, не просто ―закрывают глаза‖ на что-либо, а создают некую мыслимую, быть может идеальную, сущность, независимую от какого-либо наглядного представления. Мир таких сущностей – это преимущественно мир науки, поскольку научное познание, как правило, идѐт через абстракцию. 2.4. Абстракция в лабиринтах познания. Выделяя положительную задачу абстракции как главную для познания, мы можем объяснить, почему в науке развитие и совершенствование абстракций превращается в специальную целенаправленную деятельность. А к таким объяснениям побуждают нередко те, кто защищает тезис противоположный, – ―выработка абстракций никогда не являлась и не является специальной целью или задачей научного познания‖. Ясно, конечно, что этот последний тезис обязан аргументу от лингвистической парадигмы, когда от бедности и отрицательности лингвистического смысла абстракции заключают к бедности и отрицательности еѐ гносеологического смысла. [стр. 26 ⇒]

Однако если объективно и непредвзято посмотреть на логику познания ―изнутри‖, найдется гораздо больше (чем кажется со стороны) оснований сказать, что всѐ наше теоретическое [88] познание – ―это структура из абстракций‖ . Правда, условно мы делим процесс познания на логику и опыт. Но, строго говоря, наш опыт редко бывает ―чистым‖, без примеси рациональной обработки. ―Каждый отдельный опытный факт, поскольку он выражается с помощью понятий, – а как иначе мы могли бы его [89] выразить? – является результатом духовной обработки опыта‖ . Но опыт не только наводит на абстракцию как на нечто вторичное. Изначально, генетически, как неизбежный результат нашей физиологической организации и обучения, абстракция включена в опыт, подвергая анализу его исходный материал. Уже в элементарных актах восприятия реальность опосредована каким-то ее пониманием, дорисовкой объективной картины в соответствии с возможностями нашей памяти и прошлого опыта. Наш мозг интерпретирует и преобразует для нас (нередко вопреки нашей воле) реальность ―чистых явлений‖, подобно тому как это делает наш язык, равно обыденный или научный:, содержательный, полуформальный или формальный. Можно сказать, что в каждом добротном результате познания одновременно отражены и факты, и способы их истолкования и объяснения. И в этом смысле контексты наших теорий представляют нам факты с той мерой доверия, которую заслуживают сами теории. И хотя известная независимость фактов от их теоретических представлений, конечно, неоспорима, все же научный способ ассимиляции фактов скорее напоминает обратный метод решения задач, когда по некоторым результатам ищутся их возможные основания, которые затем уже берутся как допущения (гипотезы) или аксиомы логической дедукции. Простейшим вариантом абстракции является акт отвлечения, точнее – акт избирательного отражения или интерпретации данных. При одних и тех же данных в различных ситуациях возможны различные акты отвлечения. И хотя произвольность этих актов неоспорима, они оправдываются обычно в той мере, в какой абстракция приводит к успехам в познании или практической деятельности. Произвольный акт отвлечения только случайно может дать такой результат. К примеру, отождествляя, как правило, выбирают лишь такие основания для отождествления, которые наделили бы абстракцию отождествления определѐнным гносеологическим смыслом. Обычно это определяется целью или задачей, или какой-либо другой установкой. Вообще от установки существенно зависит структура абстрактного образа (абстрактного объекта) и его перестройка (при смене установки). При этом абстракция может быть осознанной, отрефлектированной на уровне мышления, или неосознанной, осуществляемой на уровне функциональных свойств рецепторов (органов чувств, приборов). Однако в любом случае абстракция должна соответствовать какой-либо познавательной установке – выделять определѐнный ―частичный образ‖ из практически необозримого множества возможностей (потока внешних данных). Ведь коль скоро речь идѐт о познании, это единственный путь к истине, которая ―открывается‖ познанию всегда только в частичных абстрактных образах, через разбиение целого на фрагменты, относительно независимые друг от друга. Образно говоря, отвлечение от постороннего сравнимо с приѐмами по устранению помех в канале связи (при передаче сообщений), а абстракция в целом – с приѐмом фотографической фокусировки, когда одновременно создаются зоны резкости и размытости в изображении, выделяются нужные и приглушаются прочие черты, позволяя таким образом передавать ―замысел изображения‖. В процессе познания, направленном на понимание объективных явлений психологический акт отвлечения играет немаловажную роль. Но, вообще говоря, в качестве активной формы познания абстракция должна оправдываться какой-либо более важной задачей, например созданием рациональных представлений такого высокого порядка, как структуры научного закона или научной теории. Последние уже не извлекаются из реальности простым обеднением (отвлечением от) известных нам целостных образов. Закон или теория – это мысленные синтезы того, что абстрагируется мышлением непосредственно, так сказать ad oculos, с тем, что создается мышлением специально ad usum theoreticae, когда ―кусочки отвлечений‖ наша мысль организует в определенные группыабстрактных образов,— возможно так, как из отрывочных звуковых моментов композитор создает музыкальные мелодии и ритмы. И у такой организации нашей мысли тоже должны быть свои принципы, подобные принципам ритмических построений. Выражение ―абстрактный образ‖, конечно же, фигурально. Но оно не более туманно, чем привычное – ―образ мыслей‖. Наряду с абстрактным, представляемым в созерцании, оно подразумевает и тот основной случай, когда абстрактное возможно только как ―смысловая структура‖, которая возникает на почве, быть может наглядного, опыта, но которая в речевую или наглядную структуру переводима уже не всегда. [стр. 27 ⇒]

Так, к примеру, первые эмпирические понятия о фигурах тел в наблюдаемом пространстве – ―абстракцию чувственной фигуры‖ – создают индуктивно, отвлекаясь от всех свойств наблюдаемых тел, кроме их формы и размеров. Но это только первый, психологический, аспект понятия, обусловленного на этой ступени познания всего лишь тем, что само по себе ещѐ дано в созерцании. Собственно геометрический (научный) аспект сообщают этим понятиям посредством их логической реконструкции, пополняя выделенные отвлечением эмпирические свойства теоретическими,— наделяя отрезки свойством непрерывности, прямые – неограниченной протяженностью, пары параллельных прямых – бесконечно удаленной точкой и т. д., и т. п., то есть вообще всеми свойствами, которые необходимы для формулировки и доказательств чисто геометрических теорем. В сущности, это уже не только абстракцияотвлечение – усвоение лишь части из множества данных, но иабстракция-пополнение – прибавление к этой части новой информации, не вытекающей из этих данных. И в этом смысле абстрактный образ – это идеальность, обусловленная целью и задачей науки. Хотя многие абстракции формализуются в нашей речи, отождествлять ―язык мыслей‖ и ―язык речи‖ не всегда уместно. К примеру, наша логическая деятельность связана с языком, но она не исчерпывается языком. Идея слова – передавать множественность понятий (смыслов). Но именно абстракция концептуализирует слово, претворяет слово в понятие. Иначе говоря, [90] абстракция и сопутствует слову, и напутствует слово . Посредством абстракций мы ―носим‖ действительность в своей голове в некотором приведенном (редуцированном, свернутом) виде, когда множества смыслов отождествлены и обобщены. При этом в языке смыслов мы можем отождествлять то, что обычно различаем в речевом языке. Так, слова ―Гомер‖ и ―автор Илиады‖ в речевом языке мы естественно различаем, а в языке смыслов отождествляем, поскольку дескрипция в языке понятий – это не только другой речевой знак, но парафраза собственного [91] имени, а следовательно, и знак с тем же смыслом . С точки зрения гносеологической основная особенность мысленного образа по сравнению с наглядным заключается совсем не в том, что один является упрощением другого. В восприятии реальность нам дана непосредственно, как фотографический снимок, сделанный, так сказать, без ―задней мысли‖, на котором отразилось все, что могла отразить камера при полной глубине резкости объектива. Тут есть точка зрения, но нет ―анализа с точки зрения‖. Последний подразумевает прежде всего ―замысел изображения‖, а не ―совпадение в деталях‖. От хорошего снимка, как и от хорошей картины, требуется передача настроения или мысли, то есть чтобы снимок или картина были абстракцией – обобщенным образом реальности. ―Закон нашего сознания,— говорит Гегель,— поскольку оно выступает как теоретическое сознание, состоит не в том, чтобы воспринимать предметы совершенно пассивно, а в том, что оно [92] должно, для того чтобы воспринимать предметы, направить на это свою деятельность‖ . Именно в силу этой деятельности в абстракции данное нам опытом содержание, как правило, дополняется понятийным содержанием, не выводимым из опыта. Гегель говорит – противостоит содержанию. И это тоже верно, поскольку речь идѐт о сравнении качества образов. Но это не означает, конечно, что мысленный и чувственный образы исключают друг друга. Просто, когда мы говорим об абстракции как мысленном образе, процесс абстракции подобен фокусировке. Бесспорно, что наша способность к мысленным образам более высокого порядка предполагает и более развитую способность представления и что в науке наряду с логической тенденцией всегда имеется тенденция к наглядности, к образному истолкованию ее [93] объектов . Говоря иначе, в нашем отношении к абстракциям: логикой самого дела культивируется психология эмпирика. Даже в математиках, которые порой стремятся представить свой предмет с ―наглядной стороны‖, опираясь не столько на доказательство рассуждением, сколько на ―образ‖. Аристотель преувеличил, сказав, что математик исследует [94] отвлеченное, опуская все наглядно воспринимаемое . Не случайно, когда возникает потребность в обосновании того или иного мысленного образа, мы прежде всего стремимся отыскать его прообраз в доступном нам наглядном представлении, отвечающем нашему естественному стремлению к ―материальной гарантии‖ истинности. К примеру, абстракцию трансфинитных ординалов иногда оправдывают эффективным представлением о росте функций (Э. Борель) или идеальный образ бесконечно удаленной точки – чертежом, представляющим еѐ наглядный образ на проективной плоскости. Это не означает, конечно, сведения абстракции к эмпирическому факту. Когда бесконечность прямой понимается как возможность (в двух направлениях) неограниченного еѐ продолжения, абстракция потенциальной осуществимости продолжения здесь неизбежна, и еѐ (эту абстракцию) нельзя исключить, не исключив вместе с ней математическую суть Евклидова понятия геометрической прямой на плоскости. И тем не менее, в предпосылке о неограниченном продолжении прямой сохраняется наглядное понимание того, как возникает мысленный образ этой абстракции,... [стр. 28 ⇒]

Но наглядные образы науки, которыми мы сопровождаем до поры до времени самые простые ее мысленные образы, не являются, конечно, эмпирическими в строгом смысле этого слова. Ведь иначе мы не смогли бы, опираясь на такую наглядность, утверждать, что точка касания прямой к окружности только одна, что разность расстояний точек гиперболы от ее фокусов постоянна и т. п. Абстрактность такой наглядности особенно подчеркивается операцией предельного перехода, с помощью которой создаются многие образы науки. Но эта абстрактность все же заметно слабее абстрактности мысленных образов, вводимых на основе аналитических средств. В самом деле, аналитическому представлению посредством уравнений лишь отчасти сопутствуют наглядные примеры, сложившиеся в процессе индуктивного их уяснения. Если же мы берем аналитический язык за основу, ограничивая функции, входящие в уравнения геометрических форм, только общими требованиями непрерывности и дифференцируемости, то есть обычными требованиями, предъявляемыми нами к пространству, то очень скоро мы можем потерять всякую способность к наглядному представлению форм, определяемых этими уравнениями. Нередко это приводит к трудностям (или даже невозможности) применения аналитических методов в прикладной области, например при решении инженерных задач. Но вряд ли это можно выставить аргументом против аналитических методов в той же геометрии, если перенос акцента с абстрактного наглядного представления пространственных форм на аналитическое, вообще говоря, ―необходим для [95] более глубокого проникновения в эту область‖? . И всѐ же следует иметь в виду, что язык образов и аналитический язык не однозначно упорядочены между собой по основаниям ―слабый‖ или ―сильный‖. Аналитический язык, несмотря на его абстрактную мощь, может ―маскировать‖ многие свойства объектов, представленных на этом языке и таким образом давать неполную информацию об этих объектах. В свою очередь, язык наглядных образов (синтетический язык), несмотря на его меньшую абстрактную мощь, такие замаскированные свойства нередко позволяет увидеть и в [96] этом отношении быть более информативным, чем аналитический язык . 2.5. Осмысление абстракций. Дело науки, говорил А.И. Герцен, возведение сущего в мысль. Только мысль переводит отражение факта из формы представления в форму понятия или теории. А эти формы, конечно, суть абстракции. И уж коль скоро мир осмысливается наукой в абстракциях, осмысление самих абстракций – важнейшая задача научной методологии. Выше я уже говорил о том, что абстракция нам нужна прежде всего как источник априорной информации о еѐ возможных моделях с тем, чтобы опередить опыт. Следовательно, в абстракции должна содержаться информация, которую нельзя извлечь из той части опыта, что служит нам для индуктивных шагов порождения абстракции или материальной еѐ проверки. Иначе говоря, доступный нам фрагментарный анализ реальности является не единственной основой абстракции. Этот анализ дополняется размышлением, логикой, наконец, интуицией и умозрением. В результате абстракция возникает не только как результат отвлечения от данных опыта, но и как результат их восполнения. Правда, восполнение нередко определяют как особый тип мыслительного акта – как идеализацию, отделяя последнюю от абстракции как акта чистого отвлечения. При такой постановке вопроса абстракция всегда имеет основу в (объективной) реальности, а идеализация нет, ведь задача последней, как в этом случае говорят, – наделять объекты теории ―такими воображаемыми свойствами, которые совершенно отсутствуют у исходных [97] объектов или же отражают свойства исходных объектов в значительно искажѐнном виде‖ . Разумеется, нет смысла спорить с определением. Но стоит заметить, что если объекты, поставляющие исходный материал для наших мыслительных операций, нам известны ―сами по себе‖, независимо от этих операций, то какой резон наделять эти объекты (свойства которых мы уже знаем) ещѐ некими воображаемыми свойствами. Если же мы не знаем, что представляют из себя объекты ―сами по себе‖, то о каком именно искажении идѐт речь и в силу каких оснований мы можем судить, что свойства, которые мы им приписываем – это чисто воображаемые свойства и к тому же совершенно у них отсутствующие? Короче, операция ―наделения‖ воображаемыми и ―совершенно отсутствующими свойствами‖ становится слишком подозрительной, чтобы остаться без солидного оправдания. Все заявления об искажении и огрублении действительного положения дел, о воображаемых свойствах и пр. имеют смысл лишь тогда, когда их можно проверить и подтвердить, для чего, в свою очередь, потребуется, конечно, априорное знание о том же действительном положении дел. Иначе говоря, ситуация всеведения (как невозможная ситуация) здесь неизбежна. Замечу, между прочим, что для Маха идеализация – это один из вариантов абстракции. Выделяя некоторый абстрактный, ―частичный объект‖, мы уже идеализируем реальность. При этом мы знаем от чего отвлекаемся, а что оставляеем в стороне. Оставляя в стороне действия... [стр. 29 ⇒]

Мы идеализируем, говорит Мах, ибо движения без действия сил в действительности не бывает. Однако я не понимаю, что идеализируется в данном случае. По-моему, принцип инерции говорит лишь об условном существовании (это импликация ―если,..., то‖), и в этом смысле он ничего не идеализирует. Мне всегда казалось, что есть какая-то внутренняя несогласованность в позиции тех, кто, полагая, с одной стороны, что абстракция – это метод отыскания принципов (аксиом) научного познания, с другой стороны, настойчиво подчѐркивает, что результатам абстракции (и идеализации то ж) ―не соответствует ничего действительного‖. Стоит ли тогда делать из этого теорию? И тут я готов повторить очень точную, на мой взгляд, мысль Маха: ―правильно оценивает... абстракции только тот, кто рассматривает их как интеллектуальный [98] рискованный замысел (intelltktuelles Wagnis), оправданный успехом‖ . Трудность обоснования реального содержания абстракций или невозможность их эффективного введения в теорию давно уже породила тенденцию отказаться от выяснения того, что значат абстракции ―сами по себе‖, независимо от их внутренней роли в теории, и перенести акцент с внешнего вопроса на внутренний, с проблемы истины на проблему смысла. Проблема смысла и проблема истинности – это две разные, но дополняющие друг друга проблемы. В формализованных языках научных теорий проблема осмысленности абстрактных объектов составляет узкий аспект семантики синтаксиса. Но в общем гносеологическом контексте познания она является важной, поскольку она всегда предваряет проблему истинности – основную проблему теории моделей. И действительно, истинность или ложность суждения как функция его смысла – это естественно, но, вообще говоря, вряд ли наоборот, если не иметь в виду какой-либо чисто формальный процедуры. Если истинностная оценка суждения возможна, то такое суждение наверняка осмысленно. Если истинностная оценка невозможна, то отрицать осмысленность суждения рискованно в отсутствии других аргументов. Но если суждение бессмысленно, а мы оцениваем его как ложное, то это только формальный приѐм редукции (операция ―погружения‖) с целью избежать трѐхзначной семантики. Характер отношений семантики истинности и семантики смысла выявляется особенно отчетливо при сравнении теорий: теории, родственные по предмету, но основанные на существенно разных абстракциях, обе могут быть истинными, так как понятие ―истинно‖ – в силу требований семантики смысла – заменяется на понятие ―истинно в модели‖. При этом не исключено, что синтаксические структуры теорий могут соотноситься между собой как ―часть и целое‖, например, они могут вкладываться одна в другую, подобно русским матрешкам. Но смысловые структуры теорий в этом случае ―принципу матрешки‖, вообще говоря, не следуют: разные семантики не вкладываются одна в другую, а замещают одна другую так, что сильная семантика замещает слабую. Так, все законы положительной логики (как абсолютной логики) имеют силу в интуиционистской и классической логиках, однако положительные исчисления, взятые ―сами по себе‖ и ―те же‖ исчисления (как подсистемы) внутри этих более сильных логик – это исчисления с различной семантикой логических связок, которая для первых определяется автономно, а для вторых наследуется от более сильных логик. В связи с тем, что интуитивное понятие истинности заменяется, как правило, понятием истинности в модели, возникает вопрос: могут ли теории, интуитивно относящиеся к ―одному и тому же‖ предмету (к одной модели), но основанные на существенно разных абстракциях, быть истинными одновременно? Это вопрос логики выбора. Вполне вероятно, что, хотя обе теории истинны, каждая из них ―истинна по-своему‖ – предмет этих теорий только по видимости один и тот же, общий. И в силу этого привычное правило логики А, В Þ А&В, позволяющее от истинности двух утверждений перейти к утверждению истинности их конъюнкции, не может быть принято в логике выбора. Принимая во внимание семантику истинности, оно игнорирует семантику смысла. По той же причине для логики выбора неприемлемо и другое известное правило: Ø (А&В) Þ (ØАÚØВ). Обращаясь к вопросу об осмыслении абстракций, естественно вспомнить номиналистическую идею редукции и предположить, что осмыслить абстракцию – это значит каким-то образом выразить еѐ смысловое содержание через смысловое содержание абстракции более низкого порядка. А это значит – представить первую как обобщение второй с сохранением ее исходной семантики или, по крайней мере, с сохранением той части этой семантики, которая не является посторонней при данном обобщении. Когда речь идет об абстракции некоторой теории, такого рода прием нередко непосредственно приводит и к более общей теории, в которой абстракция высокого порядка играет ту же самую роль, какую соответствующая ей абстракция более низкого порядка играет в обобщаемой теории. Поэтому, если смотреть на дело с точки зрения более общей теории, различие между абстракцией высокого порядка и абстракцией низкого порядка оказывается несущественным. [стр. 30 ⇒]

Поясню эту мысль на простом примере. Известно, что основные понятия элементарной, или Евклидовой, геометрии (точки, прямые, плоскости) и сама эта геометрия возникли как абстракции от наблюдений за поведением физических тел. Следовательно, это абстракции не очень высокого порядка, даже если принять во внимание их интеллигибельный смысл, связанный с операцией предельного перехода. В свою очередь, проективная геометрия возникает как обобщение элементарной и как абстракция от ее абстракций. Значит, вообще говоря, понятиям проективной геометрии следует [99] приписать более высокий порядок абстрактности, чем понятиям геометрии элементарной . И одной из таких более высоких абстракций является понятие о бесконечно удаленной точке. Осмыслить эту абстракцию через абстракцию обыкновенной метрической точки – значит, в соответствии с допущенным выше, просто перенести все проективные (и только проективные) свойства обыкновенной точки на точку бесконечно удаленную. Так именно и поступают в геометрии, руководствуясь принципом постоянства формальных законов, согласно которому законы операций, определѐнные для элементов некоторой исходной области (в данном случае для точек евклидовой плоскости), при последующих еѐ обобщениях (в данном случае за счет бесконечно удаленных точек проективной плоскости) должны сохраняться и для новых элементов. Этим устанавливается связь прежних и новых понятий, смысловое отношение абстракций разных порядков. При этом само собой возникает представление об индуктивной цепи обобщений, звенья которых отличаются друг от друга определенным шагом абстракции и семантической новизны. Развитие познания предстает в этом случае как дискретный процесс, на каждом новом этапе раскрывающий новую [100] ―сущность‖ . Последние слова предыдущего абзаца могут показаться странными с точки зрения идеи смысловой редукции. В самом деле, не приводит ли редукция смысла к устранению той отличительной особенности абстракции более высокого порядка, которая в данном примере выражается предикатом ―бесконечно удаленная‖ и которая составляет особую, новую семантику этой абстракции? На этот вопрос, как я думаю, нельзя отвечать ―вообще‖, а только имея в виду определенную интервальную ситуацию. Так, если иметь в виду интервальную ситуацию, порождаемую аксиомами проективной геометрии, то ответ должен быть отрицательным, ибо в этом интервале нет никакого различия между обычными и бесконечно удаленными точками: и те и другие в равной степени являются объектами проективных преобразований. Причѐм заведомо предполагаются конечные образы бесконечно удаленных точек. Это предположение настолько существенно, что бесконечно удаленные объекты вообще ―имеют смысл лишь постольку, поскольку они рассматриваются [101] при некоторой конкретной компактификации данного ―конечного‖ пространства‖ . Значит, вопрос о новой семантике может относиться к какой-то внешней точке зрения по отношению к проективной, например, к той, которая исходит из евклидова, а не проективного понятия плоскости. С этой точки зрения мы действительно наталкиваемся на новую семантику бесконечно удаленных объектов. Но и здесь, вообще говоря, метрические свойства конечных объектов мы можем перенести на объекты бесконечно удаленные, если несколько расширим понятие о метрических свойствах за счет их аналитической модели. Действительно, понятие о бесконечно удалѐнной точке вытекает из аналитического выражения данного отношения отрезков: х = х1 - lх2 / 1 + l, где l – некоторая постоянная. В случае бесконечно удалѐнной точки х = ¥, а l= - 1. Точнее, lim l = - 1 при х ® ¥. Единственность бесконечно удалѐнной точки диктуется аналогией с обычными точками, для каждой из которых l единственно. Наконец, надо принять во внимание то, что внутри интервальной ситуации, порождаемой только евклидовыми аксиомами пространства, бесконечно удаленные объекты вовсе лишены семантики, и если мы говорим о проективном обобщении элементарной геометрии, то имеем в виду позицию, внешнюю по отношению к геометрии евклидовой плоскости. Обобщение достигается как раз посредством того, что введенная извне новая семантика ―как бы элиминируется‖ в интервале абстракций проективной геометрии, то есть конечные элементы пространства уравниваются в правах с бесконечными. Пополнение плоскости бесконечно удаленными объектами (точками и прямыми) расширяет понятие перспективного отображения до понятия перспективного преобразования (гомологии), позволяя таким образом выделять чисто проективные свойства фигур – так называемые проективные инварианты. А смысловая редукция в данном случае позволяет изучать бесконечно удаленные образы на их конечных моделях. Осмысливая бесконечное как конечный образ в плоскости проективного изображения, она превращает трансцендентное в реальный объект познания. [стр. 31 ⇒]

Аналогичным образом и в общей теории функций проблема с самого начала заключалась не в том, чтобы ―развести‖ арифметику и анализ, конечное и бесконечное, дав каждому из них свое особое основание, а в том, чтобы высшие формы математических представлений о бесконечном, например, различные частные случаи актуальной бесконечности в канторовской теории трансфинитного, осмыслить (но не исключить!) с точки зрения форм математических представлений более низких, вырастающих если и не прямо из опыта, то все же соседствующих с опытом, с эмпирическим познанием. В сущности, именно эту проблему отношения конечного и бесконечного в настоящее время так или иначе решают различные неклассические подходы к теории множеств. 2.6. Исключение абстракций. Теперь я коротко затрону вопрос об исключении абстракций, который иногда называют вопросом об уточнении абстракций, выявлении их конструктивного содержания. Но, в сущности, это вопрос о том, консервативны ли абстракции, верно ли, что всѐ, что мы можем получить с их помощью, мы можем получить и без них. Тему исключения абстракций в отечественной философии утвердила Софья [102] Александровна Яновская . Но эта тема традиционная для всех философских направлений в основаниях науки, либо явно, либо неявно исповедующих установки номинализма. В их число входят, в частности, эффективизм и интуиционизм, и конструктивное направление в основаниях математики, представленное у нас работами марковской школы. Поэтому, затрагивая вопрос об исключении абстракций, я коротко представлю общие установки философского номинализма (методологического эмпиризма) по этому вопросу. Согласно номинализму, предметный мир вне мышления и сознания – это всецело эмпирический мир. Вне чувственного опыта нет никакой объективной реальности. Только конкретные вещи (индивиды) существуют в физическом смысле этого слова. Поэтому онтология номинализма допускает лишь минимальные классы родо-видового порядка (infima species), лишь один ―уровень реальности‖ – уровень пространственно-временных объектов (―фактов‖, ―конкретов‖, ―атомов‖ и т.п.), которые одни существуют ―сами по себе‖, тогда как все возможные отношения между ними и даже некоторые их свойства зависят от способов нашего рассмотрения. Что же касается абстрактных объектов (универсалий), которые в чувственном опыте не даны, то они ―сами по себе‖ (вне мышления и речи) не существуют. Своим действительным существованием и значением они обязаны их материальному носителю – языку. И поскольку существование абстрактных объектов чисто словесное, их включение в онтологию недопустимо. Эта общая, так сказать ―академическая‖, установка номинализма пополнялась и обогащалась разработками частного порядка по мере развития философии и науки. Современный номинализм, изгоняя абстрактные объекты из онтологии, не запрещает их использование в теории или в научной практике, лишь бы при этом правильно пользовались абстракциями и умели отличать полезные абстракции от бесполезных, а для этого необходимо прежде всего уметь доказывать непротиворечивость вводимых абстракций, в частности, уметь их исключать разысканием подходящей эмпирической модели. К примеру, использование абстракций ―добро‖ и ―красота‖ гносеологически оправдано уже таким очевидным эмпирическим фактом, как существование добрых людей и красивых женщин. Простым допустимым способом введения абстрактных объектов номинализм считает практику их контекстуальных определений. В этом случае абстрактные объекты вводятся в теорию как faзon de parler, или как символические фикции. Эти символические фикции не имеют ―собственного‖ значения, но их использование служит ―сокращающим приѐмом‖ для формулировки вполне осмысленных утверждений о реальных объектах, особенно в тех случаях, когда этих объектов конечно необозримое или бесконечное множество. Так, говорят ―всѐ красное‖ вместо того, чтобы говорить: ―это красное‖ и ―это красное‖, и ―это...‖, то есть вместо того, чтобы перечислять (что практически невозможно) все красные предметы. Подходящим контекстуальным определением можно образовать и абстракцию класса всех натуральных чисел без того, чтобы принимать этот класс в качестве объективной сущности. В арифметике вещественных чисел такого же рода абстракцией является ―логарифм‖, имеющий смысл в контексте ―log x‖, где х – вещественное, и притом положительное, число. Поскольку подобные символические фикции служат для выражения определѐнных фактов, они, естественно, не лишены познавательного значения. К примеру, контекст ―log x‖ можно исключить, заменив его соответствующим числом: положительным, отрицательным или нулѐм, а не фикцией. Этим, с точки зрения номинализма, и подтверждается принципиальная онтологическая необязательность абстрактных объектов – необязательность рассматривать их как нечто самосущее наряду с конкретными объектами. Например, функцию ―log x‖ рассматривать как реально существующий объект, независимый от существования вещественных чисел. [стр. 32 ⇒]

И всѐ же, несмотря на ясность программной установки номинализма, реализация этой установки неизменно наталкивалась на трудности, в особенности, когда шла речь об исключении абстрактных объектов из онтологии научных теорий, и в частности, из онтологии математики. Эти трудности указывают на сомнительность самой идеи ―исключения‖, если понимать исключение буквально. Конечно, существенная сторона любой абстракции – еѐ конструктивный смысл, конечная информация о приложимости абстракции к чему-нибудь. Это ―что-нибудь‖ обычно называют моделью абстракции. Но абстракция может иметь различные неизоморфные модели. Поэтому модель, вообще говоря, не исчерпывает информационное содержание абстракции, а только показывает, какая часть этого содержания участвует в структуре данной модели. С другой стороны, когда абстракция неполна (просто некатегорична), еѐ содержание необходимо, но недостаточно для однозначной характеристики модели – оно лишь отчасти говорит о том, какой должна быть действительность, чтобы еѐ можно было считать моделью этой абстракции. Следовательно, вопрос о моделях (и, соответственно, об исключении) абстракций – это не только вопрос об их практической применимости. Это также и гносеологический вопрос, связанный с мерой доверия к логической способности создавать абстракции, к правомочности этой способности по отношению к опыту. Между тем, условие ―модельного восполнения‖ абстракций философией номинализма трансформируется в условие исключения абстракций, что является более сильным, чем условие их модельного восполнения. Последнее вполне может отвечать теоретико-множественной практике введения абстракций. Подход, сохраняющий теоретикомножественную точку зрения, вполне доверяется максиме, согласно которой, истину можно утверждать, даже если еѐ нельзя проверить. Требование наглядности удовлетворяется здесь лишь постольку, поскольку объекты, предлагаемые в качестве моделей той или иной абстракции, просто соглашаются считать наглядными. Напротив, главное, на чѐм настаивает методологический эмпиризм, это то, что абстракции любых (в том числе и высоких) порядков суть обобщения, полученные неполной ―индукцией из очевидных свидетельств наших чувств‖ (Д.С. Милль). Поэтому абстракции не имеют собственной смысловой структуры, а их сведéние к данным чувствннных восприятий, к [103] наглядному уровню познания должно быть абсолютным . Неудивительно, что с этой точки зрения абстракции классической математики приходится квалифицировать как искажение ―наших знаний об исходной ситуации‖. Но уже понятие семантической определимости, необходимое при построении номиналистического варианта теории множеств, предполагает использование нефинитных абстракций, не говоря уже об абстракциях потенциальной осуществимости и отождествления (тоже абстракциях как-никак!). Не лучшим образом для номинализма обстоит дело и с требованием абсолютной конкретности и индивидуальности вводимых в теорию объектов, поскольку ―с того момента, как мы ограничиваем номиналистический тезис языком-объектом, допуская свободное использование интуиции в метаязыке, этот тезис теряет право на существование... Анализ убеждает нас в том, говорит математик, близкий к интуиционистской школе, что само понятие ―конкретная вещь‖ не удовлетворяет номиналистическому постулату... То, с чем мы встречаемся на практике, всегда более или менее конкретно(курсив мой – М.Н.). Какая-либо [104] строгая альтернатива возможна только через абстракцию‖ . Ранее подобной точки зрения [105] придерживался Александр Бэн и многие после него, столкнувшись с трудностью [106] удовлетворительной дихотомии (и определения) понятий на ―абстрактные‖ и ―конкретные‖ . Если следовать номиналистической установке, необходимо иметь абсолютный критерий, отличающий абстракции от неабстракций. Но в науке нет ―чистой эмпирии‖, безусловных, окончательных и очевидных конкретностей, устраняющих потребность в абстрактных объектах. Научное познание – это творчество. И абстракции в этом творческом движении познания, как я уже отмечал, – это, не просто ―строительные леса‖, которые после постройки какой-либо точной отрасли знания можно – и даже нужно – отбросить. К тому, что называют сегодня ―научным опытом‖, приходят путем всѐ более и более абстрактных построений, так что абстрактное – уже не только форма и метод, но и самая ―суть дела‖ науки. Тем не менее, стремясь ―разгадать‖ абстракцию, стоит изучить возможности замены еѐ наглядным образом (еѐ абстрактным представителем) там, где такие возможности действительно имеют место. А это прежде всего выразимость абстракций в их языковых формах. И в этом, так сказать, лингвистическом плане конструктивное исключение абстракций усматривается в их формализации, поскольку в этом случае используются только финитные способы их представления. Такое финитное представление с гносеологической точки зрения действительно означает ―возвращение‖ к наглядному уровню познания. Оно отличается, в частности, тем, что абстрактные объекты заменяются наглядными объектами исчислений в рекурсивно перечислимом множестве их ―языковых моделей‖, сравнение которых сводится затем только к... [стр. 33 ⇒]

В этом смысле формализация – это своего рода обращение к их ―положительной достоверности‖, [107] основанной на ―непосредственном материальном созерцании, хотя и абстрактном‖ , но абстрактном в более слабом смысле, чем исходный, когда мысль не опирается на требование конструктивности, посредством которой она (мысль) обретает ―видимый облик‖, играющий роль посредника между ―миром идей‖ и ―миром вещей‖. Сводя содержание теории к ―форме и правилу‖, формализация по существу связана с используемой в ней логикой рассуждений. Не случайно первые опыты полной формализации (а не только полуформального представления) относятся к области логики. Современные методы формализации мысли придали логическим операциям над суждениями вполне ―вычислительный‖ характер, а логическим доказательствам – вид формальных выводимостей, в которых обращения к содержанию суждений, по существу, не требуется, а требуется лишь адекватное восприятие материального объекта – вывода формулы, кодирующей доказываемое положение. В результате, восходящая к Аристотелю идея доказательства теорем и вывода следствий при помощи некоторого механического приѐма (идея ―алгоритмизации‖ логического вывода), в решающей степени обеспечена современными методами логической формализации, которая позволила перейти от интуитивных выводов, обращѐнных к нашим мыслительным способностям воспринимать смысл суждений, к выводам сугубо формальным, интерсубъективным. Формализация содержательно введѐнных абстракций помогает устранить различия и двусмысленность в обычных речевых приѐмах их выражения, служит для более полного и строгого изучения этих абстракций, позволяя решать задачи, которые ставятся обычно ―вне‖, но разрешаются только ―внутри‖ формализованных теорий. Таковы задачи о непротиворечивости научных теорий, об их синтаксической и семантической полноте, о характере, существовании и различимости их моделей, о формализуемости определѐнного рода понятий, об их разрешимости или неразрешимости. Возможность формализации не означает, вообще говоря, полного исключения содержательного подхода к абстракциям. К примеру, выводы исчислений ―сами по себе‖ лишены семантики, ответственной за истинность выводимых формул, кодифицирующих абстракции теории, а мы хотели бы, конечно, чтобы эти абстракции были истинны. Но если формализация абстракции вообще осуществима, то, по крайней мере, можно поручиться за связь этой абстракции с тем, что уже точно может быть представлено наглядным образом. Среди других часто употребляемых наглядных моделей абстракций можно назвать конечные таблицы, матрицы, аналитические (формулы) и номографические (графики, функциональные шкалы) способы представления функций. Так, в инженерно-технической практике, изучая свойства какой-либо функции, зачастую пользуются ее наглядной графической моделью. Эти модели не передают, конечно, всего содержания абстракций. Но такие модели часто передают главное для нас: общий вид функций, характер изменения функции на отрезке и пр. Они часто служат и вспомогательным наводящим средством для дальнейшего исследования свойств абстракции. Свойства абстракций выражаются при этом, конечно, с такой только точностью и полнотой, какая доступна для графических средств. Но в целом ряде случаев этой точности и полноты представления достаточно для суждения о практически значимых свойствах абстракций. По графику функции можно, например, сказать, является ли она дифференцируемой или нет. Пользуясь графиком, можно получить решения разного типа уравнений, вполне достаточные для инженерно-технических целей. Построение языковых моделей абстракций – это теоретический (и притом не единственный) план исключения абстракций. Практический план исключения абстракций – это техническая применимость (реализация) абстракций, например использование их в расчетах технических систем, когда в силу ряда обстоятельств приходится прибегать к приближѐнным решениям, ―разрежая‖ информацию аналитических образов. Именно в контексте практики, в частности путѐм технической и промышленной приложимости, подтверждается объективная значимость абстракций, а заодно и объективная природа теоретического познания. Но если и не найдено подходящей технической модели абстракции, то это не умаляет еѐ научной ценности. Ведь цель ―порождения‖ абстракции может лежать вне технических потребностей ее применения. Например, логические операции издавна относились к чисто теоретической сфере деятельности, а законы логики воспринимались только как законы мышления. Их техническая приложимость начинается, как известно, лишь с 40-х годов нашего века. Решающую роль при этом сыграла кодификация логических законов в языковых системах математической логики, установление изоморфизма алгебры логики и алгебры переключательных (нуль-единичных) функций, а точнее, обнаружение того, что обе они являются изоморфными реализациями... [стр. 34 ⇒]

Математическая развитость этой двоичной алгебры обеспечила ее быстрое практическое применение в системах телефонии, в цифровых вычислительных устройствах и в промышленности, например в задачах автоматизации телеуправления энергосистемами, железнодорожным транспортом и вообще там, где она оказалась подходящим средством для описания поведения технических систем. Но реализуемость ―техники мышления‖ в промышленно значимых моделях для самой этой техники не столь уж важна. На время она сделала логику популярной наукой, поставила перед ней несколько новых инженерных задач и задач по моделированию познавательных процессов (по искусственному интеллекту), однако не изменила основной задачи этой науки – анализа способов рассуждений и доказательств, породив разве что предрассудок, будто формальная логика является наукой, посторонней мышлению. Сегодня, тем не менее, ясно, что предмет логики – это по-прежнему и прежде всего мыслительный акт, это умозаключение, изучаемое с опорой на ―внешние‖ средства путем словесной (знаковой) формы записи мысли, ее кодификации (отображения) в формальном языке, логическом исчислении и т. п. с целью свести до минимума подсознательные, энтимематические и эллиптические элементы мыслительного акта. Но только когда семантику этого акта удается полностью выразить синтаксическими средствами формального языка (что случается не так уж часто), возникает и возможность технического моделирования этой семантики, и возможность конструктивного исключения логических абстракций. 2.7. Абстракция и научный метод. Экспериментальное исследование и обобщение его результатов – это, пожалуй, основной метод естествознания. Понимается это обычно так, что, начиная с чего-то конкретного, эмпирического, частного, естественнонаучный метод должен закончить чем-то абстрактным, теоретическим, общим. Именно по типу этой индуктивной аргументации такой путь познания характеризуют как эмпирический метод, хотя этот метод и приводит в конечном итоге к общим теоретическим результатам. Стоит, однако, уточнить посылки экспериментального исследования, как тотчас же обнаружишь, что то конкретное, эмпирическое, частное, с которого это исследование начинают, основывается по крайней мере на двух чисто логических абстракциях: 1) на изолирующей абстракции, поскольку, прежде чем провести эксперимент, необходимо выяснить суть вопросов, на которые он должен давать ответ, и соответственно этому выделить некоторое конечное множество начальных условий, обеспечивающее всѐ существенное для интересующих нас в этом эксперименте явлений; 2) на абстракции неразличимости, поскольку приборы, которые мы используем в эксперименте, ограничены конечной разрешающей способностью различения, как бы они ни были точны. Более того, в начальные условия должна непременно входить и некоторая адекватная исследованию точность этих приборов, ведь если точность будет недостаточной [108] или ―если мы станем наблюдать слишком пристально, мы... ничего не сможем понять‖ . Положение, высказанное здесь по отношению к методам экспериментальным или естественнонаучным, тем более верно по отношению к методам дедуктивных наук: ―Со времен Аристотеля, если не с еще более давних, хорошо известно, что в основе любой науки лежит то, что можно было бы назвать „принципом намеренно неполного знания”, абстракция и обобщение как раз и состоит в том, что определенные свойства рассматриваемых объектов систематически игнорируются. Аксиоматический метод в математике представляет собой не [109] что иное, как применение этого принципа‖ . Очевидно, что монополия математики на этот принцип не бóльшая, чем любой другой дедуктивной (или полудедуктивной) науки. Поэтому, с некоторыми дополнениями насчѐт абстракции, эта мысль выражает общую рациональную посылку познания – абстракции лежат в основе любого научного метода. И понятно, что в каждом отдельном случае научного исследования или оформления этого исследования в научную теорию эта общая посылка реализуется в абстракциях на данный случай, идущими, так сказать, in medias res. Например, переход от содержательной аксиоматики к формальной – это обобщение, требующее одновременно некоторых более сильных абстракций, чем те, которые лежат в основе содержательной аксиоматики. Одной из таких более сильных абстракций является гипотеза об экзистенциальном характере формальной аксиоматики, представление о ее возможной предметной области (о ее универсуме) как о ―единой совокупности‖. А это уже явное понимание значения абстракции актуальной бесконечности для аксиоматической теории, хотя [110] эта абстракция и не формулируется явно в виде аксиомы такой теории . Другой пример – аналогичный – дает понятие о плотности (непрерывности) вещественной прямой. Оно основано на абстракции, что путем деления масштаба можно построить отрезок, меньший любого данного. Принимая такую абстракцию игнорирует, в свою очередь, абстракцию фактической неразличимости, от которой стандартный математический анализ... [стр. 35 ⇒]

В свою очередь, нестандартный анализ, также игнорируя фактическую неразличимость, принимает инфинитную абстракцию бесконечно малых. И здесь мы имеем еще один хороший пример осмысления абстракции более высокого порядка (гипервещественного числа!) через абстракцию более низкого порядка, т. е. через абстракцию вещественного числа, поскольку поле гипервещественных чисел строится так, что его элементы имеют все те же свойства, что и [111] вещественные числа, и в то же время является обобщением поля вещественных чисел . Можно, разумеется, продолжить количество примеров, подтверждающих принципиальную мысль о том, что выбор исходных абстракций, даже если он делается неосознанно, существенно определяет метод и характер научных теорий. Но и сказанного, я думаю, достаточно, чтобы понять, что это никогда не могло бы случиться, если бы суть абстракции сводилась к простому психологическому акту отвлечения и если бы абстрактное само по себе было полностью лишено творческого, конструктивного начала. В результатах абстракции выражается наше понимание реальности. А понимание реальности – это не копия реальности, а ее субъективный образ, построенный в соответствии с наличными условиями и средствами познания и в известном смысле по нашей воле. Сознательная воля и творчество столь же существенны в этом образе, как и наша естественная способность к отражению данного содержания. Поэтому, вообще говоря, в абстракции сочетаются и теоретический и практический способы действий – и определенность сущим, и определение сущего одновременно. Секрет этой двойственности довольно прост. Абстракция начинается обычно с индукции, но когда она найдена и воплощена в понятие или теорию, гносеологическое отношение оборачивается – индуктивный путь, инициировавший абстракцию, заменяется дедуктивным путем от абстракции, к ее моделям, то есть к тем явлениям, которые послужили, быть может, индуктивной базой для формирования абстракции и которые воспринимаются теперь как частные еѐ реализации (примеры). Именно здесь проявляется новое важное качество познания через абстракцию, которое едва ли уловимо на индуктивном пути,— выявляется неоднозначность абстракции, еѐ приложимость к существенно разным моделям. Иначе говоря, абстракция соответствует не только первоначальному опыту. В общем случае она – инвариант в классе опытов (моделей) различной природы. Намеренная неполнота знания, обусловленная отвлечением, которое мы соединяем с понятием ―абстракция‖, дополняется теперь его ненамеренной модельной насыщенностью (целостностью), обеспечивая тем самым и право на дедуктивный путь познания реальности, чтобы в нашем объяснении явлений мы могли двигаться дальше, например, могли объяснить более сложный опыт или получить данные опыта, которые не получишь, минуя абстракцию и теоретический путь познания. Так, описывая свой опыт с зеркалами, Френель замечает, ―что лишь теория колебаний могла привести к идее постановки такого рода опыта. Этот опыт настолько труден, что почти невозможно, чтобы [112] чистый случай на него натолкнул‖ . В аксиоматизируемых теориях онтология не скрыта за ширмой абстрактных образов, а представлена в самих этих образах. Фиксируя в аксиомах определѐнные виды связей объектов, изучают природу объектов с точностью до их определенных связей, то есть, по сути, как ―переменную природу‖. Особенно это заметно в формальной аксиоматике, в которой условия, налагаемые на основные понятия содержательной аксиоматикой, сохраняются, но их уже не обязательно понимать как условия для данных конкретных понятий (как условия только одной ситуации!). Они могут относиться к любой ситуации, удовлетворяющей формальной аксиоматике. Однозначность теоретической онтологии проявляется в этом случае через однотипность абстрактных структур моделей, хотя мы и не требуем при этом изоморфизма самих моделей. Достаточно и того, что мы можем говорить о ―законченной объективности‖ знания в интервале абстракций каждой данной структуры, поскольку об объектах ―самих по себе‖, вне свойств, определяемых такой структурой, мы, как правило, ничего не можем сказать. Важно, однако, то, что каждая научная теория, действуя избирательно, ―онтологическую сигнатуру‖ предполагаемой действительности редуцирует в ―онто-гносеологическую сигнатуру‖ соответствующей картины мира. При этом некоторые, возможно многие, элементы оригинала, индуцировавшего ту или иную теорию, уходят из образа оригинала, созданного научной мыслью, уходят просто как посторонние для теории, а следовательно, и для теоретической картины мира. Поэтому не приходится удивляться, если уже на другом пути мы наталкиваемся на эти отсутствующие в теории элементы. Но когда эти элементы и в самом деле оказываются посторонними для данной теории, то совершенно напрасно пытаться ―вложить‖ их в эту теорию [113] в целях мнимой еѐ полноты . Разумнее предположить, что в той ―онтологической неполноте‖ научных теорий, которая обусловлена фактом независимости определенных явлений друг от друга – их, так сказать, взаимопосторонним характером,— мы имеем определенный... [стр. 36 ⇒]

Возможно, что для математика время и течение времени – это хороший пример потенциальной бесконечности, поскольку кажется, что ―нельзя представить себе, что имеется какой-то самый последний момент времени, [120] за которым уже совсем нет никакого времени‖ . Однако психолог или писатель по отношению к словам, взятым в кавычки, будут более осторожны. Они, быть может, даже возразят математику. Им-то хорошо известно, что выражения ―время остановилось‖ или ―самый последний момент времени‖ – вовсе не бессмысленные обороты речи. Это или отражение психического состояния, субъективный факт ―переживания времени‖, в котором течение времени перестают воспринимать, [121] перестают чувствовать себя во времени , или же отделившее время от вечности возвышенное понимание жизни, достижение ею наивысшего момента, когда ―она уже в вечности, для нее время [122] остановилось‖ . Можно сказать, конечно, что такие психолингвистические возражения не касаются сути дела и не достигают цели, поскольку их легко отвести простым замечанием, что необходимо строго различать объективные и субъективные аспекты значений терминов. Но так ли уж абсолютно здесь, да и в других случаях, такое различение? Мысль, что ―нельзя представить себе‖ и связанную с ней точку зрения, математик заимствует из той же психолингвистической практики употребления понятий и, не обращая на это внимания, возводит свою позицию в ранг общезначимой истины только потому, что она позволяет, создать ему связную и далеко идущую систему абстракций, называемую математическим анализом. Но для псии_ачимой истины только потому, что она позволяет, создать ему связную и далеко идущую систему абстракций, называемую математическим анализом. Но для пс_ различение? Мысль, что ―нельзя представить себе‖ и св3.2. Абстракция постоянства и научный опыт. Когда какая-либо абстракция с успехом применяется в познании, разумно поискать объективные основания этого успеха. Субъективные основания для абстракции постоянства, очевидно, есть. В частности, абстракция постоянства освобождает организм от непосильной информационной перегрузки, которая неизбежна в случае различимости произвольно малых изменений в произвольно малые интервалы времени. Но эта цель оказалась бы совершенно бесполезной для адаптации и не была бы достигнута, если бы постоянство явлений, отраженное в этой абстракции, было ложным изображением действительности, своего рода миражом, вызванным инстинктом самосохранения, субъективной активностью организма, но лишенной онтологической (реальной) основы. В том-то и дело, что истинность познания требует постоянства в объективной реальности не меньше, чем в еѐ субъектном образе. Известные нам законы природы не только выражают инвариантность как абстракцию от изменяющихся явлений, но и предполагают инвариантность как условие самих явлений, как их объективную возможность или действительность, отражѐнную в законах. Вот почему, строго говоря, и суждение о непрерывной переменности (panta rei), опоэтизированное Гераклитом, – это тоже абстракция, не более и не менее, чем абстракция постоянства. Мы теперь равно говорим и о возрасте Земли, и о возрасте атома, почти не задумываясь над смысловым различием слова ―возраст‖ в каждом из этих контекстов. Но в последнем мы слишком далеки от ―естественной‖ семантики этого понятия. Очевидно, что наш внутренний опыт, связанный с индивидуальным старением во времени, с привычным свойством изменения во времени, существенно входит в наше понятие о возрасте. Так, если каким-либо образом удалось исключить для человека естественную возможность формирования понятия о времени на [123] ―внешней‖ (объективной) основе , то у него всѐ же осталась бы ―внутренняя‖ (субъективная) основа для аналогичной оценки времени. Например, человек без труда смог бы различить предикаты ―молодой‖ и ―старый‖ по личным фотографиям, разделенным, скажем, промежутком в пятьдесят лет. Но атом, руководствуясь своим ―внутренним опытом‖, этого сделать не сможет, если даже фотографии ―молодости‖ и ―старости‖ атома разделит промежуток в миллиарды лет – его образы на этих фотографиях будут точными копиями друг друга. Наконец, основным аргументом и в пользу абстракций переменности, и в пользу абстракции постоянства являются законы сохранения, для которых с уверенностью доступной нам на сегодня [124] теоретической оценки можно указать пока единственный временной интервал: – ¥< t < + ¥ . О какой бы переменности ни шла речь, не подразумевается, конечно, что эта переменность вообще произвольная, не подчиненная каким-либо законам. Посылка о закономерности лежит в основе наших индуктивных гипотез об изменении объектов, об их ―поведении‖. По крайней мере, мы обычно не ожидаем, что, изменяясь, вещь перейдѐт в другой род – в ―чужой‖ таксон, лежащий на произвольной ветви развития. Я могу стать стариком, но, конечно, не могу стать женщиной. Иначе говоря, значения переменной, ожидаемые нами, с большой вероятностью должны лежать в заведомо определѐнном классе – в области еѐ изменения, хотя этот класс и необязательно мыслить как актуально данный. К примеру, я ещѐ не стал, стариком, а только могу им стать. В общем случае класс значений – это порождаемый класс. Он всегда в процессе становления. [125] Соответственно и универсум должно мыслить in statu nascendi . [стр. 38 ⇒]

Итак, говоря о постоянстве явлений во временном интервале, я имею в виду и закон (характер) изменения значений соответствующей переменной, который тоже необходимо включить [126] в этот интервал . Точнее, надо связать абстракцию постоянства и закон изменения явлений. Только в этом случае абстракция постоянства получит желаемый теоретический смысл. Только тогда можно будет говорить об интервале абстракции постоянства в собственном смысле. Хорошим примером названной выше связи служит явление радиоактивного распада. Действительно, хотя излучая, вещество изменяется, для некоторых радиоактивных веществ скорость изменения начальной их массы (как функции времени распада) при этом столь незначительна, что путем обычного взвешивания (с наибольшей доступной нам точностью) изменения массы невозможно обнаружить ни в вековой, ни даже в тысячелетней практике человечества. И только закон радиоактивного распада (в его дифференциальной форме) уточняет интервал абстракции наблюдаемого постоянства массы для любого радиоактивного вещества. На основе этого закона можно заведомо указать (рассчитать) такой невырожденный временной интервал, в котором для каждого его момента изменение массы радиоактивного вещества фактически будет равно нулю. А это означает, что при любой заданной конечной точности измерения абстракция постоянства данной массы вещества в интервале этой абстракции обоснована как эмпирический факт. Как известно, этот интервал связан с постоянной радиоактивного распада и не зависит ни от каких прочих условий. В своей замечательной книжке о времени Дж. Уитроу обсуждает гипотезу, согласно которой ни один материальный или идеальный процесс не может осуществиться за время, меньшее [127] некоторой атомарной единицы времени – хронона . И если держаться феноменологического представления о течении времени как непрерывности, в которой ―каждый определѐнный момент [128] времени совершенно неуказуем‖ (в которой, следовательно, нет места для математического строго точечного ―теперь‖), то трудно удержаться от искушения и не релятивизировать хронон, истолковав его, равно как и психологическое ―теперь‖, в смысле экспериментально подтверждаемого тезиса об интервале абстракции постоянства материальных или идеальных процессов. Тем более что названный тезис оправдывается также и теоретически представлением об интервальной, а не точечной одновременности в соответствии с принципом [129] относительности одновременности . 3.3. Абстракция постоянства и закон тождества. Всѐ сказанное выше об абстракции постоянства носит откровенно философский характер и поэтому может показаться недостаточно ясным. Очевидно, первым нефилософским теоретическим выражением этой абстракции является [130] закон тождества в логике – закон постоянства высказываний (или принцип сохранности ): любая законченная мысль, представленная в форме высказывания и имеющая определенное истинностное значение, должна сохранять свою первоначальную форму и свое значение в явном или подразумеваемом контексте на протяжении всего процесса рассуждения (доказательства), в котором участвует это высказывание. Замечу, что, в отличие от общепринятой позиции и в соответствии с содержанием абстракции постоянства, я не хотел бы говорить о законе тождества как о существенной идеализации в процессах мышления. Если речь идѐт о высказывании А, то в языке логического исчисления указанную ―сохранность‖ обычно кодируют формулой (A É А). Сама по себе эта формула не означает, конечно, принятия А в качестве истинного высказывания: импликация (А ÉА) É А не является общезначимой. Но если А принято, то необходимо принять и абстракцию постоянства (закон тождества) для А поскольку формула AÉ (A É А) – это уже общезначимая формула. Вообще слева от (A É А) всегда можно написать конечную или же бесконечную последовательность префиксов вида ―А É―, группируя скобки вправо от префикса. Замечательно, однако, что и для классической, и для интуиционистской логики это сведение абстракции постоянства высказывания к принятию самого высказывания имеет более сильную форму следующей теоремы: если при допущении высказывания для него отрицается закон тождества, то тем самым отрицается и это высказывание. Или, на языке исчисления: A É (¬ (A É A) É ¬ А). Сама по себе эта формула выглядит тривиальной. Интересно, однако, что она является (как я обнаружил) подстановочным случаем более общей теоремы (А É (¬ (В É А) É ¬А), которую я позволил себе [131] называть формальным аналогом закона достаточного основания . По-моему эта теорема является также сильным аргументом в защиту regressus ad infinitum против аристотелевской идеи аподейктического знания, поддерживая аргументы его противников (скептиков и мегариков), которые утверждали, что ―ни одно положение (включая аксиомы и постулаты – М.Н.) не может приниматься за истинное, если не найдены другие, из истинности которых это положение [132] следует‖ . В классической логике верна также формула (А É ¬ (В É А)) É ¬ А, а в интуиционистской – формула (А É (А É ¬ (В É А))) É ¬ А. [стр. 39 ⇒]

8. Индивидуация и квантовая неопределѐнность. Возможность координатной индивидуации электронов, по существу, утрачивается при вероятностной интерпретации (квадрата модуля) волновой функции, поскольку в этом случае утрачивается представление об их однозначной пространственно-временной локализованности. Точечный электрон заменяется размытостью очень малых размеров. Правда, этим ещѐ не перечеркивается принципиальная возможность мыслить точечную локализованность электрона как некую объективность. Например, в работающем кинескопе мы ещѐ можем говорить о траектории пути электрона, поскольку в этом -5 случае неопределенность координаты Dх ” 10 см. Однако принцип неопределенности (ограничения точности наблюдения) указывает на экспериментальный (и в этом смысле вполне объективный) предел пространственно-временной локализации электрона с -13 точностью Dх ” 0,5 ´ 10 см. Неразличимость электронов при рассеянии является следствием этого факта. Но если идея координатной индивидуации электронов, вообще говоря, теряет смысл, то идея признаковой индивидуация остается, хотя индивидуация здесь будет уже не онтологическая, а гносеологическая, основанная на понятии о волновой функции (y-функции), являющейся математическим представителем физически наблюдаемых свойств электрона и, следовательно, абстракцией, однозначно описывающей электрон с точностью до квантовых состояний. В этом случае индивидуализируются не электроны, а их квантовые состояния – ―состояния движения‖ электронов, и, таким образом, отпадает потребность в обращении к какой-либо абстракции бесконечности, так как состояния движения электронов полностью определяются конечным набором квантовых чисел. Остается только одна абстракция, а именно та, согласно которой электрон отождествляют с его квантовым состоянием. Интервал этой абстракции предусмотрен соотношением неопределенностей. Последним и подчеркивается принципиальная важность различия между координатной индивидуацией и признаковой. При этом естественно приходит на ум возражение Канта против принципа тождества неразличимых на том основании, [170] что ―физические места совершенно безразличны к внутренним определениям вещей‖ . Так ли это? – вопрос дискуссионный. Кажется, однако, что пространственное положение электронов отнюдь не безразлично к их наблюдаемым свойствам (к их поведению). Об этом нам говорит другой основной принцип квантовой механики – принцип запрета (или, по выражению Германа Вейля, ―странный принцип Паули‖), связывающий свойства электрона с его отношением к определенному месту в пространстве – к квантовому состоянию в атоме, а также проверка теоремы Белла, показавшая, что ―предположение, что две частицы можно рассматривать как изолированные и независимые физические объекты только потому, что они движутся на большом [171] расстоянии друг от друга, в корне ошибочно‖ . По-видимому, всѐ это только указывает на полноту квантового описания с помощью волновой функции, а точнее, – на равносильность онтологической и гносеологической индивидуации электронов, если только верно, что выполнение принципа Паули для каких-либо микрообъектов влечет полное совпадение наблюдаемых свойств этих объектов и, таким образом, однозначно определяет их универсум как множественность неразличимых. Любопытно, что как раз на основании этой неразличимости Фейнберг уличает лейбницевский [172] принцип тождества неразличимых в ложности , а Вейль, напротив, на том же основании говорит [173] об истинности (подтверждаемости) этого принципа . Разгадка состоит, по-видимому, в неопределѐнной формулировке самого принципа. Я убеждѐн, что Лейбниц отделял проблему наблюдаемой неразличимости от проблемы тождества (о чѐм свидетельствует и Кант), хотя и называл свой принцип тождеством неразличимых. Неразличимость в его толковании имела не гносеологический (феноменальный), а онтологический (ноуменальный) смысл. Поэтому, говорит Кант, этот ―мнимый закон Лейбница есть не закон природы, а только аналитическое правило для [174] сравнения вещей посредством одних лишь понятий‖ . Но Кант, видимо, не понял, что принцип тождества неразличимых был для Лейбница (равно как и для стоиков) всего лишь другим выражением принципа индивидуации. 4.9. Индивидуация и парадокс Ришара. Для математики в отличие от физики абстракции имеют безусловную значимость. Они еѐ предмет, еѐ начала и еѐ метод. Математическая реальность ―открывается‖ в том же смысле, в каком посредством абстракции она ―создается‖. Природная реальность значима здесь лишь постольку, поскольку еѐ структуры представимы средствами математических структур и, таким образом, служат практическим подтверждением объективной ценности математических абстракций. Само собой понятное и безусловное для физики разделение универсумов на онтологический, принадлежащей природе, и гносеологический, принадлежащий физической еѐ картине, для математики становится условным. И тот, и другой универсумы (как и индивидуация элементов в них) создаются здесь какой-либо абстракцией, дополненной столь же абстрактной ―конструкцией‖ их элементов. Возможно, что это набор вычислимых функций, возможно, – понятие предельного перехода или нечто родственное им. Словом, онтологический универсум чистой математической теории нельзя считать данным от... [стр. 48 ⇒]

Вводя понятие о тождестве через абстракцию (отождествления), вопрос о подстановочности тождественных, об условиях замены равного равным приходится решать особо. Правило замены в этом случае будет производным по отношению к абстракции, а не прямым. Применяя абстракцию отождествления, необходимо следить (всякий раз, когда вводятся какие-либо операции над объектами), устойчивы ли эти операции относительно данной абстракции, не нарушается ли при этом интервал данной абстракции отождествления. Особую осторожность необходимо соблюдать при отождествлении имѐн, что часто делается, когда тождество определяют семантически по примеру Фреге: ―А= В обозначает тот факт, что имена А иВ имеют то же самое (одинаковое) концептуальное содержание, так что мы можем [197] повсюду заменять В на А и наоборот‖ или Джевонса: ―Символы А = В обозначают тождество [198] объектов, представленных неопределѐнными терминами или именами А и В‖ . К примеру, рассматривая дроби как имена рациональных чисел, мы вправе написать равенство p /q = ps /qs, где s и q ¹ 0. Так как оба члена этого равенства – это два различных имени одного и того же рационального числа, то, применив абстракцию отождествления к этим именам, мы хотели бы их равенство толковать как тождество. Однако не в любом контексте (и, замечу, не в любом экстенсиональном контексте!) эти имена подстановочны и, как следствие, обозначаемые ими объекты тождественны. В частности, p /q и ps /qs не подстановочны относительно операции нахождения числа, заключѐнного в положительном интервале между двумя данными дробями. Указав на этот пример, Шатуновский замечает, что при рассмотрении свойств операций [199] необходимо для каждой из них исследовать вопрос о возможности замены равного равным . Со своей стороны добавлю, что если задачу отождествления ограничить контекстом, определяющим указанную выше операцию, то относительно неѐ подстановочность всѐ же выполнима в интервале данной абстракции отождествления рациональных чисел. Более глубокий результат можно получить, рассматривая предикат равенства не как двухместный, а как четырѐхместный (или двухместный от функций по натуральным аргументам). При этом выясняется, что только равенство натуральных чисел действительно удовлетворяет всем условиям на логическое тождество, а равенство дробей —только условиям на эквивалентность. Вообще, отождествление – это не констатация (узнавание, прослеживание, подтверждение) отношения тождества, а некоторое его порождение, исходя из определѐнных установок познания. Исходя из тех же установок, решается вопрос о достаточных основаниях для тех или иных отождествлений. Субъективность таких оснований может определяться доступностью (полнотой) информации об объектах, но, очевидно, что какая-то информация такого рода имеется всегда. Следовательно отождествление, как и различение, – это всегда некоторая задача, допускающая (в зависимости от условий) различные решения. 5.3. Абстракция отождествления. Если верно, что в основе всякой абстракции лежит акт отождествления, то не менее верно и то, что само отождествление является абстракцией. Но слово ―отождествлять‖ позволительно толковать и употреблять в разных смыслах (по-разному). Всѐ зависит от того, на каких условиях допускаются акты отождествления. Абстракция отождествления (термин введѐн А.А. Марковым, 1954) естественно релятивизирует этот акт, выражая по существу потребность в принципе, более прозрачном и менее метафизичном, чем лейбницевский принцип тождества неразличимых. Абстракция отождествления – это абстракция, с помощью которой из каких-либо объектов одного рода, то есть в каком-либо смысле объектов одинаковых (эквивалентных, равных), посредством отвлечения от их посторонних различий (несущественных для данного отношения одинаковости) порождается объект, единственный в своѐм роде – абстрактный объект. Для каждого применения абстракции отождествления те объекты, к которым она применяется (например, все оттиски буквы ―я‖, напечатанные на этой странице) называют (считают) конкретными; а те, что возникают в результате применения абстракции отождествления (например, единственная буква ―я‖ русского алфавита), – абстрактными. В систему абстракций конструктивной логики и математики абстракция отождествления включается в качестве ―вспомогательной‖ абстракции. Хотя с еѐ помощью порождаются абстрактные объекты – абстрактные буквы, абстрактные алфавиты, абстрактные слова и пр., всѐ же считается, что это не приводит к таким актам идеализации, которые, с одной стороны, существенны для конструктивных теорий, а с другой, – выводят за рамки этих теорий, нарушают их принципиальные установки, поскольку любое рассуждение с применением абстракции отождествления может быть заменено рассуждением, не использующим этой абстракции, а именно, – рассуждением только на конкретных объектах. Если лейбницевский принцип тождества неразличимых, характеризуя тождество как ―внутреннее‖ отношение объекта, был для него иным выражением принципа индивидуации, то для конструктивистов абстракция отождествления не... [стр. 53 ⇒]

То, что Марков назвал абстракцией отождествления, относится не ко всякому отождествлению, а лишь к такому, где делается преднамеренная абстракция от ―неощутимых различий‖ индивидуально различных объектов, хотя, строго говоря, абстракция отождествления никак не связана с неразличимостью, если последняя понимается как эмпирический факт. В самом деле, рассматривая конструктивные объекты ―с точностью до одинаковости, то есть пренебрегая [200] различиями между одинаковыми объектами‖ , одновременно допускают (а фактически постулируют) транзитивность одинаковости, оговаривая, что одинаковость и различие [201] определяются при этом на глаз . Однако, держась эмпирической точки зрения, в этом случае нельзя игнорировать проблему ―малых различий‖. Пренебрегать такими различиями мы не можем, не указывая явно адекватный ―способ пренебрежения‖, иначе у нас нет гарантии от возникновения противоречий, когда незаметное накопление малых различий (в условиях принятия абстракции потенциальной осуществимости) ―размоет‖ границу между одинаковым и различным, что естественно приведѐт к ситуации, которую я называю парадоксом транзитивности (или [202] парадоксом Пуанкаре) . Ясно, что в конструктивном истолковании абстракции отождествления ссылка на эмпирический опыт – это простая формальность, не предусматривающая эмпирических оправданий. Обычные для эмпирического опыта погрешности сравнений (измерений) ―с точностью до‖ (например, с эталоном) здесь либо вовсе не принимаются во внимание, либо просто приравниваются к нулю. Особенности следящей системы (наблюдателя) абстрагироваться от неощутимых различий не являются здесь составной частью отношения, возникающего в актах отождествления, хотя сами эти акты обычно рассматриваются как элементарные действия над конструктивными (физически определѐнными) объектами. Но ―физичность‖ ситуации здесь явно идеализированная, платонистская, что, между прочим, и создаѐт гарантию от возникновения [203] противоречий . Вот почему я убеждѐн, – вопреки известному заявлению, что сама по себе абстракция отождествления носит только вспомогательный (и исключаемый) характер, – что для конструктивных (как и для всяких иных математических) теорий она необходима по существу. Только в этом случае, выделяя понятие о ―конкретных объектах‖, образующих универсум теории, можно a priori предполагать не только возможность отождествлять или различать эти объекты всякий раз, когда нам это потребуется, но и принимать такое отношение одинаковости между конкретными объектами, которое рефлексивно, симметрично и транзитивно. Постулированием транзитивности заведомо предохраняются от неприятностей, связанных с накоплением неощутимых различий. Это, конечно, необходимо, но недостаточно для самой абстракции отождествления. Если первый еѐ этап состоит во введении базового отношения типа равенства (одинаковости) и в отвлечении (первого порядка) от всех неприятностей, связанных с [204] эмпирическими актами различения , то второй – в отвлечении (второго порядка) от множественности одинаковых, в замене одинаковых многих на один абстрактный объект как общее свойство всех одинаковых между собой объектов. В первоначальной редакции А.А. Марков высказывался даже в более платонистской манере, говоря об ―образовании абстрактного [205] понятия‖ с помощью этой абстракции. Как бы там ни было, но именно такого рода замена составляет содержание абстракции [206] отождествления в применении к конкретным объектам . Она выражает простой факт редукции. Вместо того, чтобы говорить о многих одинаковых, она позволяет говорить об одном и том же, но абстрактном объекте. Понятие ―один и тот же‖ при этом уточняется через абстракцию от базовых отношений: два конкретных объекта тогда и только тогда представляют один и тот же абстрактный объект, когда эти конкретные объекты одинаковы. Следовательно, в отличие от обычных аксиоматических определений, содержание понятия ―один и тот же объект‖ (а, следовательно, и понятия тождества) не является раз и навсегда данным. Оно может определяться (и на самом деле определяется) в разных случаях разными процедурами отождествлений. К примеру, что значит отождествить две буквы в русском алфавите, когда речь идѐт об их употреблении в устном речевом общении? В этом случае придѐтся одинаковость понимать как одинаковость их фонетических значений. Здесь одной графикой обойтись уже нельзя, поскольку графическое равенство и фонетическое равенство букв могут не совпадать. Более того, дело осложняется тем, что фонетическое равенство (одинаковость) букв в устной речи определяется их вхождением в слово – их ―соседями‖ по вхождению в слово. В лингвистике этот факт известен как позиционный принцип графики. Таким образом, вводя абстракцию отождествления, надо позаботиться об отношениях одинаковости и различия. Процедура их введения и распознавания может быть как финитной, так и трансфинитной. И хотя в математике абстракция отождествления применяется ―на каждом шагу,... [стр. 54 ⇒]

Между тем, ―конструктивная математика использует гораздо более ―скромную‖ систему абстракций, [208] нежели традиционная‖ . В более общем (традиционном) случае место абстракции отождествления заступает теоретико-множественный принцип абстракции. 5.4. Абстракция отождествления и обобщающая абстракция. В чистой логической теории тождества мы стремимся создать понятие, которое имело бы абсолютный смысл, независимый от того, как мы отождествляем объекты. Иными словами, та или иная абстракция отождествления допускается здесь наряду с понятием о тождестве. В чистой теории тождества мы задаем только смысл предиката ―х = у‖. О фактической истинности суждений о тождественности, возникающих на основе этого предиката, мы узнаем в приложениях логической теории, когда мы отсылаем за разъяснением значений переменных, входящих в предикат тождества, к некоторой модели, то есть когда мы имеем в виду не понятие тождества само по себе и не логическую функцию, соответствующую этому понятию, а фактические условия ее выполнения. Но если говорить о приложениях, то для них, как правило, и отождествление и различение суть абстракции: ―Отождествление, поскольку абстрагируютсяот различия, и различение, [209] поскольку абстрагируются от отождествления‖ . Спору нет, акты отождествления и различения, конечно, несовместимы. Но фактические основания для применения отношений, соответствующих этим актам, вполне могут их совмещать, скажем, в плане онтологическом, когда, не впадая в противоречие, можно говорить, что рассматриваемые предметы в некотором смысле одинаковы, а в некотором другом – различны. Так, мы говорим о двух (и, следовательно, различных) буквах ―о‖ в слове ―одинаковый‖, хотя эти буквы графически одинаковы. Но поскольку наше сознание ―фотографирует‖ их с одной стороны – либо со стороны их одинаковости, либо со стороны их различия, каждая такая фотография с точки зрения истинности познания имеет лишь преходящее значение, отражая действительность формально и неполно. Вот почему можно сказать, что познание ―достигает полноты лишь в [210] единстве тождества с разностью и тем самым состоит только в этом единстве‖ . В диалектической философии на этом основании нередко говорят, что, применяя абстракцию отождествления, по существу довольствуются ―частичным тождеством‖, поскольку выражение ―хтождественно у‖ – это только эллиптический вариант выражения ―х есть та же самая сущность А, что и у‖, где А – своего рода переменная для подстановки различных сущностей в различных контекстах. При таком толковании абстракции отождествления содержание этой абстракции усматривают в выделении общих признаков предметов, а порождаемое ею отношение – в относительном тождестве, вообще говоря, различных, предметов по этим выделенным общим признакам, т. е. когда без обиняков полагают, что абстракция отождествления и [211] обобщающая абстракция это одно и то же . Однако интерпретация абстракции отождествления как обобщающей абстракции наталкивается, по-моему, на следующее возражение. Во-первых, ―выделение‖ признака, общего многим, и отождествление многих по этому признаку – это не одно, а два различных умственных действия. Между ―выделяют общее свойство‖ и ―отождествляют по общему свойству‖ нельзя писать союз ―то есть‖, если иметь в виду субъективный аспект этих действий. Первое ни просто, ни с необходимостью не влечет второе, хотя второе и подразумевает первое. Во-вторых, считать тождественными предметы, имеющие лишь некоторый общий признак,— значит, входить в сознательный конфликт с логическим понятием тождества, безразлично, идет ли речь при этом о тождестве предметов ―для нас‖.или об их тождестве ―в себе‖. Философ, говоря, что ―у меня нет основания выставить суждение А= В, если А и В сначала не кажутся мне различными до тех пор, пока я при ближайшем исследовании не нахожу, что они могут замещать [212] друг друга‖ , выражается еще недостаточно ясно, чтобы распознать по его словам, имеется ли в виду тождество или только об одинаковость различных объектов. Чтобы высказаться ясно, необходимо уточнить интервал подстановочности (заменяемости) рассматриваемых объектов, оговорив особо ситуации ―внутри‖ и ―вне‖ этого интервала. Допуская ―тождество различных‖ без таких оговорок, мы сейчас же наталкиваемся на контрпример для подстановочности тождественных, то есть фальсифицируем одну из основных характеристик логического понятия тождества. А это очевидным образом приводит нас к внутренней [213] противоречивости концепции ―тождества различных‖ . Разумеется, если ограничиваются лишь некоторым ―запасом признаков‖ (в чѐм, собственно, и выражается обобщающая абстракция), то в нем может и не оказаться тех признаков, которые различали бы рассматриваемые нами объекты. Однако сама идея тождества различных предполагает, что такие признаки не только существуют, но и заведомо нам известны. Поэтому... [стр. 55 ⇒]

Рассуждая о тождестве, мы в любом случае обязаны ставить вопрос о том, каким именно условиям подчиняются наши представления об ―одном и том же‖ и, соответственно, наши суждения об ―одном и том же‖. Выяснение условий истинности таких суждений – это обычное и естественное требование диалектики анализа, но оно вовсе не означает, что наличием таких условий мы можем оправдать подмену понятий, т. е. подмену логического понятия тождества неким его суррогатом, называемым ―частичным тождеством‖. Ценность абстракции отождествления, в частности в том, что она даѐт определѐнный выход из этих трудностей, если не приписывать ей чужеродного содержания и отличать еѐ от известных абстракций традиционной логики. Абстрагируя признак, общий многим, то есть применяя обобщающую абстракцию, мы делаем только первый шаг к желаемой цели, мы создаем (по соглашению) логическую возможность для ―уравнивания‖ многих объектов, одинаковых по данному признаку. Мы переводим эту возможность в действительность, когда мы явным определением вводим одинаковость в систему наших понятий в виде перечня из трѐх аксиом – рефлексивности, транзитивности и симметрии. Однако этот перечень, являясь логическим выражением свойств отношения одинаковости (типа равенства), не является логическим образом обобщающей абстракции. Не случайно в конструктивном анализе, где, собственно, и появился термин ―абстракция отождествления‖, об обобщающей абстракции не говорится ни слова. Значит, если мы хотим указать на явную связь отношения одинаковости с обобщающей абстракцией, нам необходимо найти подходящий логический образ этой связи, например, определить одинаковость объектов контекстуально одной (бескванторной) аксиомой: А(х) É (―х = у‖ º А(у). В этой аксиоме А(w) обозначает произвольное условие (произвольный признак, по которому идѐт обобщение), ―º―– это эквиваленция, а х и у – различные свободные переменные. Мы можем получить из этой аксиомы все обычные свойства одинаковости, а также подстановочность [214] одинаковых, но только относительно предиката А(w) . Так определѐнное отношение ―х = у‖ естественно назвать отношением тождества через абстракцию. Но если такое тождество через абстракцию (такую одинаковость, эквивалентность и пр.) иногда и называют тождеством в логическом смысле, то это только метафорический перенос значения, основанный на сходстве наименований. Тождество как одинаковость по признаку действительно условно, действительно ―частичное тождество‖. Это тождество объектов в интервале абстракции данного признака. Лишь в том случае, когда этим (интервальным содержанием) исчерпывается вся информация об объектах (всѐ то, что мы можем на данный момент узнать о них), лишь тогда – и только тогда – имеется достаточная основа, чтобы говорить об их логическом тождестве. Очевидно, что в случае обобщающей абстракции такой основы ещѐ нет. На шаге этой абстракции мы сохраняем полное понимание одновременного ―сходства и различия‖ объектов. Иначе мы не смогли бы поставить вопрос об отвлечении от различий, не смогли бы сказать, что выделяем признак, общий многим, говоря о многих различных предметах. Таким образом, в основе обобщающей абстракции лежит абстракция одинаковости, но одинаковость —это ещѐ не тождество. Абстракция отождествления в собственном (строгом) смысле слова заключается в возможности заменить онтологический универсум конкретных объектов гносеологическим универсумом абстрактных объектов, то есть по данному универсуму ―конкретных‖ и одинаковых сущностей построить универсум только различных (индивидуализированных!) ―абстрактных‖ сущностей. Иначе говоря, она позволяет свести одинаковость к тождеству в его логическом смысле – к индивидуации, что, в свою очередь, позволяет сказать, что каждая абстрактная сущность (полученная с помощью абстракции отождествления) единственна. Когда абстракцию отождествления, о чѐм уже говорилось выше, стремятся истолковать, следуя средневековой заповеди номинализма ―не множить сущности без нужды‖, то неизменно добавляют, что создаваемые ею абстрактные объекты берутся только как façon de parler, а сама абстракция отождествления ―только как удобный способ выражения, сокращающий формулировки‖, так что по ―этим сокращенным формулировкам всегда без труда могут быть [215] восстановлены более длинные формулировки, обходящиеся без абстракции отождествления‖ . Я не согласен с таким подходом. Как бы мы ни старались подчѐркнуть ―исключаемость‖ абстракции отождествления, еѐ необходимость кажется очевидной перед лицом практической или теоретической (пусть даже потенциальной) бесконечности классов конкретных объектов. К... [стр. 56 ⇒]

Этим, во-первых, уже с самого начала устраняется противоречие между конечностью алфавита и потенциальной бесконечностью конкретных букв языка, требуемых для написания сколь угодно длинных текстов; а, во-вторых, указывается на посторонний характер индивидуальных различий (в силу принципа индивидуации), когда при чтении буквы воспринимаются как знаки фонем, потому что в этом случае буквы существенны не ―сами по себе‖ (информация, сообщаемая ими о самих себе, как правило, не воспринимается), а только как представители одной фонемы. При этом ничто не мешает нам толковать абстрактные буквы на номиналистический манер в качестве эталонных символов, то есть конкретных и полноценных заменителей (представителей) любых одинаковых с ними и тоже конкретных букв. Следовательно, понятие абстрактной буквы естественнее воспринимать как элемент гносеологического (а не онтологического) универсума, который является источником только той информации, что предусмотрена в условиях на отождествление в интервале абстракции отождествления. 5.5. Абстракция отождествления и факторизация. Итак, как я уже сказал выше, применяя абстракцию отождествления, мы не можем остановиться на тождестве ―таких же‖, а должны обратиться к тождеству ―тех же самых‖. Это необходимо хотя бы для того, чтобы обеспечить единственность вводимых абстрактных понятий, и, – что особенно важно в вопросах обоснования математических суждений, – укрепить нашу веру в однозначность натурального ряда. То, что эта однозначность является предметом веры, а не фактом, было замечено ещѐ в эпоху [216] методологических баталий классиков и эффективистов . В частности, Лузин, в письме к Куратовскому, писал об этом так: ―Фундаментальная проблема состоит в том, чтобы выяснить, является ли последовательность целых положительных чисел вполне объективной? Кажется, что она почти объективна, и что имеются следы несомненной субъективности, такой, что нельзя говорить о последовательности целых положительных чисел всегда, во всех случаях, в одном и том же смысле. Однако в данный момент слишком преждевременно ставить жгучую проблему о единственности последовательности целых положительных чисел и говорить о конечных [217] недостижимых числах‖ . Характерно, что в начале 60-х гг. эта ―жгучая проблема‖ была вновь поставлена (и возвращена к обсуждению) в ультраинтуиционистской программе обоснования теоретико[218] множественной математики . В мою задачу не входит обсуждение этой проблемы. Здесь важно лишь подчеркнуть еѐ самую тесную связь с проблемой отождествлений, а точнее, с невозможностью некоторых отождествлений и в силу этого, с невозможностью (в некоторых [219] случаях) доказательства противоречивости дедуктивных теорий . Поэтому ―объективность‖, о которой говорит Лузин, естественно понимать как вопрос онтологии, как вопрос об онтологической индивидуации натуральных чисел, как вопрос об осмысленности понятия тождества объектов вообще, независимо от того, идѐт ли речь об их гносеологической (фактической) определимости или о тех объектах, для которых мыслится только их онтологическая (трансцендентная) определимость, независимая от предположений, которыми руководствуются при построении теории. Очевидно, что для конструктивного образа мышления, поскольку он несѐт в себе ―следы несомненной субъективности‖, вопрос о ―тождестве вообще‖ не имеет смысла. А это и приводит нас к необходимости отличать абстракцию отождествления от того процесса абстракции, который в теоретико-множественной математике называют факторизацией или гомоморфизмом. Как и абстракция отождествления, названный процесс лежит в основе определений через [220] абстракцию . Но поскольку это приѐм классической математики, он не чуждается универсалий, а напротив – именно универсалии и являются объектами, которые вводятся с его помощью. Весь процесс идѐт по существу по следующей схеме: если х и у одинаковы, то зачисляем их в один класс, так что если х принадлежит Кх, а у принадлежит Ку, (и при этом речь идѐт о произвольных объектах), то Кх и Ку – классы одинаковых объектов (их называют классами абстракции или классами эквивалентности), и, следовательно, эти классы тождественны в обычном смысле теоретико-множественного принципа объемности (экстенсиональности), то есть тождественны логически (представляют собой ―один и тот же‖ класс). Продолжая этот процесс до исчерпания всех элементов исходного множества (онтологического универсума конкретных объектов), мы разбиваем это множество на классы так, что каждый класс содержит все элементы, одинаковые между собой. Но тем самым в качестве нового абстрактного объекта вводится и некоторое новое понятие, соответствующее классам абстракции, а сами классы образуют новые сущности – элементы нового, теперь уже гносеологического универсума, в котором одинаковости на множестве различных конкретных соответствует тождество на множестве классов эквивалентности. Иными словами, ―гомоморфизм означает не что иное, как объединение в ―классы эквивалентности‖ (классы абстракции – М.Н.) совокупностей объектов, могущих различаться посредством других критериев отождествления, в чѐм и состоит образование абстрактных [221] понятий‖ . Очевидно, что при этом, вообще говоря, отступают от... [стр. 57 ⇒]

В несколько свободной манере (не претендуя на строгость) можно было бы высказаться так: если мы сохраняем информацию о прежнем универсуме, к элементам которого применялась обобщающая абстракция, то возникает типичная интервальная ситуация ―внутри и снаружи‖, непротиворечивый выход из которой объясняется тем, что ―снаружи‖, на классах абстракции, одинаковость – это тождество, а ―внутри‖, на исходном универсуме, по-прежнему одинаковость. Значит, в противовес обобщающей абстракции факторизация не обобщает, а изолирует и индивидуализирует, и индивидуализирует не конкретные, а абстрактные объекты. Такая ситуация имеет место по существу в каждом случае гомоморфного отображения при согласованности отношения одинаковости с данным отображением, то есть в случае, если это отображение не меняет своего значения при замене любого его аргумента одинаковым с ним. Тогда говорят, что значение отображения не зависит от выбора элементов в классах абстракции, а зависит только от классов абстракции. Если одинаковость согласована с данным отображением, то структура, определенная на исходном множестве, переносится на фактор-множество по данной одинаковости. Так, по операциям дизъюнкции, конъюнкции и отрицания множество высказываний образует структуру булевой алгебры, а определенная на этой структуре равнозначность высказываний согласована с отображением множества высказываний в множество их истинностных значений. В соответствии с этим и структура алгебры высказываний переносится на структуру множества их истинностных значений, образуя алгебру истинностных значений (алгебру Линденбаума – Тарского). Следовательно, коль скоро речь идет о принципе абстракции, то с одинаковым правом можно сказать и то, что одинаковость представляемых однозначно выражается в тождестве представляющих их абстрактных объектов, и то, что тождество абстрактных объектов, порождаемых абстракцией отождествления, однозначно выражается одинаковостью представляемых ими конкретных объектов. Этим обстоятельством нередко пользуются или для замены конкретных объектов их абстрактными представителями – свойствами конкретных объектов, или чтобы ―превратить‖ одинаковость в логическое тождество. К примеру, структура рационального числового поля нестандартна по отношению к тождеству, но ее можно превратить в стандартную, ―склеив‖ любые две эквивалентные дроби. Когда говорят, что ―одна и та же‖ положительная рациональная дробь допускает бесконечное разнообразие представлений, то этим уже подчѐркивается, что ―одно и то же‖ – это класс эквивалентных представлений, в которых эквивалентность совместима с арифметическими операциями над дробями. Но если считать, что дроби сами суть числа, то такое тождествоэквивалентность нельзя толковать как тождество чисел в его логическом смысле, поскольку тождество дробей имеет иной смысл, чем тождество натуральных чисел. Если последнее – это тождество индивидов, то первое – это тождество отношений этих индивидов с существенно иным [222] смыслом . 5.6. Принцип абстракции. Связав абстракцию отождествления и факторизацию, я позволил себе некую вольность в толковании этой абстракции, некий отход от еѐ конструктивного смысла, – возможность рассматривать эту абстракцию в рамках других классических абстракций. Но эта уступка в строгости даѐт некоторый гносеологический выигрыш в общности: говоря о произвольныхразбиениях произвольных множеств можно привлекать абстракцию отождествления, то есть включать субъективный элемент оценки в онтологию классических понятий. Это тем более важно, что классическая идея разбиения – это далеко идущее обобщение традиционного (для формальной логики) понятия классификации или деления объѐма понятий (divisio), то есть порождение системы непустых и взаимно непересекающихся (дизъюнктных) классов (в традиционных терминах ―видов‖ – membra divisionis), в сумме образующих покрытие объѐма разбиваемого (исходного) понятия (totum dividendum). Обобщение этой традиционной логической процедуры состоит, во-первых, в утверждении о существовании отношения типа равенства (эквивалентности), сопряжѐнного с каждым данным разбиением, и, во-вторых, в утверждении о существовании разбиения, сопряжѐнного с каждым отношением типа равенства (эквивалентности), определѐнным на исходном множестве (объѐме понятия). Оба эти утверждения имеют характер теоретико-множественных теорем. Если исходный класс (―род‖ – genus) конечен и содержит n элементов, то для каждого данного разбиения число видов £ n. А общее число всех возможных (различных) его разбиений вычисляется по n формуле Вn=S m=1S(n,m), где S (n,m) – число Стирлинга второго рода, а m – число различимых видов. При этом каждая эквивалентность производит только одно разбиение, и каждое рабиение индуцирует только одну эквивалентность. Вся эта комбинаторика выглядит не слишком философичной, если не принять во внимание еѐ связь с абстракцией отождествления или с той известной процедурой, которую... [стр. 58 ⇒]

В традиционной логике классификация представлялась скорее актом конкретизации, чем абстракции. Главным было ―движение вниз‖ – от summum genus к infima species и далее к индивидуальным объектам. В определениях через абстракцию существенным является как раз обратный процесс – от индивидов, обладающих некоторым общим свойством (и, следовательно, равным в силу абстракции отождествления их по этому свойству), к объектам принципиально иной природы, к абстрактным сущностям более высокого порядка (к абстрактным понятиям или ―классам абстракции‖). К примеру, понятия ―форма‖, ―направление‖, ―стоимость‖ – всѐ это абстрактные сущности, полученные определениями через абстракцию. Однако, поднимаясь таким путѐм ―по лестнице абстракций‖, мы не множим сущности без нужды, а, напротив, производим акт редукции ―много к одному‖, поскольку, по определению, любым двум равным объектам в этом акте соответствует всегда ―одна и та же‖ абстрактная сущность, один и тот же абстрактный образ. Параллельным прямым – одно и то же направление; подобным фигурам – одна и та же форма; инерциальным системам – одни и те же физические законы, обмениваемым товарам – одна и та же стомимость. Но если два и более объектов имеют функциональное отношение к одному и тому же третьему объекту, то все объекты, принадлежащие к области данного отношения, становятся эквивалентны (и в определѐнном смысле неразличимы) в рамках данного отношения. Поэтому каждый из них может выступать как представитель любого другого из этой области. Так вводится понятие об абстрактных представителях классов абстракции, носителях свойств, общих для всех элементов соответствующих классов абстракции. Но поскольку и самый класс абстракции может быть отождествлѐн (в теоретико-множественном смысле) со свойством, общим всем его элементам (это обычный интуитивный принцип абстракции теоретико-множественной логики), возникает возможность, в свою очередь, в походящем интервале абстракции отождествить этот класс с любым его элементом, если этот элемент рассматривается как представитель этого класса абстракции. Такое отождествление представляется даже более естественным, чем отождествление класса и свойства, в силу заведомо принимаемого интервала абстракции, согласно которому все другие свойства, различающие объекты этого класса ―внутри него‖, объявляются посторонними, то есть практически их нет, если смотреть ―изнутри‖ принятого [224] интервала абстракции . Такого рода редукцией отчасти ослабляется ―творческий‖ (и потому для многих подозрительный) характер определений через абстракцию, создаѐтся возможность не только для введения, но и для исключения абстракций более высоких порядков, чем первый. Глава 6. Дедуктивное обобщение и принцип абстракции Единичные случаи представляют собою единственное основание вывода, какое только может быть, так как их значение не может усилить никакая логическая форма (Джон Ст. Милль, ―Система логики)‖ Иллюстрация на частном случае демонстрирует некоторый тип рассмотрения, применимый ко всем случаям. (Клини С.К., ―Математическая логика‖) Вопрос, обсуждаемый ниже, Эверт Бет называет частным, но важным вопросом, которым, по [225] его словам, ―до сих пор никто не занимался и не дал удовлетворительной трактовки‖ . Что касается удовлетворительной трактовки, то Бет, вероятно, прав, хотя трудно найти философски значимую проблему, которая получила бы общепринятое толкование. Но, говоря, что этим вопросом до сих пор никто не занимался, Бет, конечно, неправ. Он сам указывает на некоторые исторические корни этого вопроса. Правда, ограничиваясь темой общих понятий, Бет ведѐт его родословную и общую формулировку от Локка и Беркли. Но действительная история всѐ же восходит к античности, хотя и тогда он обсуждался преимущественно в контексте классической философской темы универсалий. Первая дошедшая до нас попытка его решения принадлежит Аристотелю. А суть дела в философском контексте сводится к объяснению вопроса, каким образом ―частное‖ может оказаться эквивалентом ―общего‖. В логическом же контексте она сводится к обоснованию общезначимости утверждений (в частности, математических теорем), доказанных первоначально на единичных (конкретных) примерах, для какого-либо частного случая, подтверждающего общее утверждение. Практика таких доказательств переросла со временем в методологический приѐм: распространять (переносить) на все объекты определенного класса утверждения (высказывания, теоремы), правильность которых установлена (доказана) для произвольно взятого единичного объекта данного класса, даже если при этом и остаѐтся... [стр. 59 ⇒]

В самом деле, правило "-обобщения чистой логики разрешает универ-сальное замыкание открытой формулы А(х), если эта формула была выведена и при этом переменная х либо не имела свободных вхождений в посылки данного вывода, либо же вовсе не встречалась в его посылках. При таком условии истинность А(х) не зависит от свободных вхождений х, так что формуле А(х) без каких-либо ―индуктивных оснований‖ может быть придана интерпретация всеобщности. Отсюда законность обобщения, выраженного в формуле "хА(х), которое здесь по существу тавтологично, или, другими словами, является аналитическим. Как иронически отметил [304] Рассел, ―абстрагируясь от отдельных случаев, мы в итоге остаѐмся ни с чем‖ . Но когда х в посылках вывода свободна, доказательство может зависеть от конкретных значений, которые в процессе доказательства могут быть приданы этой переменной (что в сущности и делается в доказательстве на частном примере), а это не обязательно все значения из области возможных значений переменной х, но обычно те, которые обозримы в данном случае и для которых уже дано доказательство. Однако для каких-то других значений х (не входивших в доказательство) А(х) может оказаться ложной. Именно поэтому и возникает необходимость в обосновании общего заключния "хА(х). И Бет, и интуиционисты объясняют, как обосновать такой переход, не теряя идею единичного примера, то есть сохраняя синтетический характер доказательства. Но можно ли его обосновать, не прибегая при этом к доказательству от противного и отказываясь от каких-либо интуитивных критериев очевидности? Видимо, можно, если воспользоваться тем обстоятельством, что в данном случае ―мы заинтересованы в том, чтобы заставить переменную пробегать не весь универсум, а лишь [305] некоторую его часть‖ . Я напомню, что, по Колмогорову, смысл общего утверждения "хА(х) определяется как требование ―указать общий метод, который позволил бы решить проблему А для [306] каждого произвольногох‖ . Я полагаю, что одним из таких методов (когда речь идѐт о 32-ом предложении I книги ―Начал‖ Евклида), кроме тех методов, о которых говорилось выше, может быть метод абстракции, основанный, во-первых, на применении ограниченных кванторов и, во-вторых, на том замечательном обстоятельстве, что в интервале применяемой абстракции отождествления отношение типа равенства сводимо к отношению логического тождества. Это, конечно, не новый, а хорошо известный метод классической (теоретико-множественной) математики. Я придам ему только своѐ интервальное истолкование. Схема этого метода такова: в некотором данном универсуме посредством условия А(х) фиксируют соответствующий этому условию класс абстракции и, соответственно, отношение типа равенства (эквивалентности) объектов этого класса, применяя интуитивный принцип абстракции. Это первый – дедуктивный шаг доказательства. Затем выбирают какой-то определѐнный (конкретный) объект из этого класса (определѐнное значение переменной х, например а) и для него доказывают теорему В(а). Это второй – индуктивный шаг доказательства, поскольку оно проводится для [307] единичной посылки . Третий шаг доказательства состоит в устранении постороннего характера второго (индуктивного) шага путѐм использования следствий первого (дедуктивного) шага. Именно принцип абстракции (если в доказательстве В(а) мы не выходим за его рамки) позволяет нам рассматривать конкретный объект а, для которого доказана теорема, как (произвольный, но фиксированный) абстрактный объект, как представителя всех возможных значений х в контексте данного доказательства. Итак, если Ка – класс абстракции по элемету а и доказано В(а), то доказано, что х Î Ка É В(х), и, обобщая по переменной х, имеем |¾ "х(х Î Ка É В(х)). Здесь полезно отметить некоторые гносеологические особенности указанного метода обобщения. Релятивизируя доказательство теоремы В(х) относительно класса абстракции, мы естественно ограничиваем еѐ область истинности, но зато получаем возможность перейти от тривиального $-обобщения на основе единичного примера к нетривиальному "-обобщению на основе того же примера. Разумеется, если условие релятивизации отбросить, то заключение В(а) |¾ "х В(х) будет неверным, поскольку х по условию доказательства нельзя рассматривать в интерпретации всеобщности. В содержательных рассуждениях на зависимость того или иного обобщения от интервала абстракции обычно не указывают и даже не обращают внимания. Отсюда видимость совпадения "-обобщения в чистой логике и "-обобщения в случае еѐ приложений. Если бы предметную область теории можно было ограничить так, чтобы обеспечить условия для интерпретации всеобщности всех еѐ переменных, она превратилась бы в чистую логику. Осуществилась бы ―заветная мечта‖ логицизма. Но эту ситуацию можно рассматривать только как предельный случай прикладного варианта "-обобщения, когда все классы абстракции либо исчерпываются универсальным классом, либо речь идѐт о доказательствах теорем отдельно в каждом из классов абстракции при тривиальном разбиении универсума. Но в одноэлементном... [стр. 72 ⇒]

Смотреть страницы где упоминается термин "абстракция": [77] [81] [82] [83] [84] [39] [44] [130] [192] [200] [1044] [138] [28] [30] [106] [108] [38] [9] [11] [21] [52] [70] [60] [21] [203] [37] [188] [153] [154] [140] [327] [34] [35] [33] [23] [94] [29] [31] [38] [105] [193] [421] [154] [42] [146] [147] [152] [101] [102] [54]